Геоид

Форма океана без ветров и приливов

Карта волнистости геоида в метрах (на основе гравитационной модели EGM96 и референц-эллипсоида WGS84 ). ^[1]

Геоид ( / ˈ dʒ iː . ɔɪ d / JEE -oyd ) — это форма, которую поверхность океана приняла бы под влиянием гравитации Земли , включая гравитационное притяжение и вращение Земли , если бы отсутствовали другие влияния, такие как ветры и приливы . Эта поверхность простирается через континенты (например, может быть аппроксимирована очень узкими гипотетическими каналами ). По словам Гаусса , который первым описал ее, это «математическая фигура Земли », гладкая, но неровная поверхность , форма которой является результатом неравномерного распределения массы внутри и на поверхности Земли. ^[2] Она может быть познана только посредством обширных гравитационных измерений и расчетов. Несмотря на то, что она является важной концепцией в течение почти 200 лет в истории геодезии и геофизики , она была определена с высокой точностью только с достижениями в области спутниковой геодезии в конце 20-го века.

Геоид часто выражается как геоидальная волнистость или геоидальная высота над заданным референц-эллипсоидом , который представляет собой слегка сплющенную сферу, экваториальная выпуклость которой вызвана вращением планеты. Обычно геоидальная высота повышается там, где материал Земли локально более плотный и оказывает большую гравитационную силу, чем окружающие области. Геоид, в свою очередь, служит опорной координатной поверхностью для различных вертикальных координат , таких как ортометрические высоты , геопотенциальные высоты и динамические высоты (см. Geodesy#Heights ).

Все точки на поверхности геоида имеют одинаковый геопотенциал (сумму гравитационной потенциальной энергии и центробежной потенциальной энергии). На этой поверхности, за исключением временных приливных колебаний, сила тяжести действует везде перпендикулярно геоиду, что означает, что отвесные линии направлены перпендикулярно, а уровни пузырьков параллельны геоиду. Будучи эквигеопотенциалом , геоид соответствует свободной поверхности воды в состоянии покоя (если бы работали только гравитация Земли и ускорение вращения); это также является достаточным условием для того, чтобы мяч оставался в состоянии покоя, а не катился по геоиду. Ускорение силы тяжести Земли ( вертикальная производная геопотенциала) таким образом неравномерно по геоиду. ^[3]

Волнистость геоида в псевдоцвете , затененный рельеф и вертикальное преувеличение (коэффициент вертикального масштабирования 10000).

Волнистость геоида в псевдоцвете, без вертикального преувеличения.

Описание

Поверхность геоида неровная, в отличие от референц-эллипсоида (который является математическим идеализированным представлением физической Земли в виде эллипсоида ), но она значительно более гладкая, чем физическая поверхность Земли. Хотя «земля» Земли имеет отклонения порядка +8800 м ( гора Эверест ) и −11 000 м ( Марианская впадина ), отклонение геоида от эллипсоида колеблется от +85 м (Исландия) до −106 м (южная Индия), что в целом составляет менее 200 м. ^[4]

Если бы океан имел постоянную плотность и не подвергался бы воздействию приливов, течений или погоды, его поверхность напоминала бы геоид. Постоянное отклонение между геоидом и средним уровнем моря называется топографией поверхности океана . Если бы континентальные массивы суши были пересечены серией туннелей или каналов, уровень моря в этих каналах также очень близко совпадал бы с геоидом. Геодезисты могут вывести высоты континентальных точек над геоидом с помощью спиртового нивелира .

Будучи эквипотенциальной поверхностью , геоид, по определению, является поверхностью, на которой сила тяжести перпендикулярна везде, за исключением временных приливных колебаний. Это означает, что при путешествии на корабле не замечается волнистость геоида; если пренебречь приливами, местная вертикаль (отвесная линия) всегда перпендикулярна геоиду, а местный горизонт — касателен к нему. Аналогично, спиртовые уровни всегда будут параллельны геоиду.

Упрощенный пример

1. Океан
2. Эллипсоид
3. Местный отвес
4. Континент
5. Геоид

Гравитационное поле Земли неоднородно. Обычно в качестве идеализированной Земли используется сплющенный сфероид , но даже если бы Земля была сферической и не вращалась, сила гравитации не была бы везде одинаковой, поскольку плотность на планете разная. Это связано с распределением магмы, плотностью и весом различных геологических составов в земной коре , горными хребтами, глубоководными впадинами, уплотнением коры из-за ледников и т. д.

Если бы эта сфера была покрыта водой, вода не была бы везде одинаковой высоты. Вместо этого уровень воды был бы выше или ниже относительно центра Земли, в зависимости от интеграла силы тяжести от центра Земли до этого места. Уровень геоида совпадает с тем, где была бы вода. Обычно геоид поднимается там, где материал Земли локально более плотный, оказывает большую гравитационную силу и вытягивает больше воды из окружающей области.

Формулировка

Меридиональный профиль волнистости геоида (красный) относительно референц-эллипсоида (черный), сильно преувеличенный; см. также: Грушевидная форма Земли .

Волнистость геоида ( также известная как высота геоида или аномалия геоида ), N , является высотой геоида относительно заданного эллипсоида отсчета . Волнистость не стандартизирована, поскольку разные страны используют разные средние уровни моря в качестве отсчета, но чаще всего ссылаются на геоид EGM96 . $${\displaystyle N=h-H}$$

На картах и ​​в обычных целях высота над средним уровнем моря (например, ортометрическая высота , H ) используется для указания высоты возвышенностей, в то время как эллипсоидальная высота , h , получается из системы GPS и аналогичной GNSS : (Аналогичная связь существует между нормальными высотами и квазигеоидом , который не учитывает локальные изменения плотности.) На практике многие портативные GPS-приемники интерполируют N в предварительно вычисленной карте геоида ( таблице поиска ). ^[5] $${\displaystyle H=h-N}$$

Таким образом, GPS-приемник на судне может в течение длительного плавания указывать на изменения высоты, даже если судно всегда будет находиться на уровне моря (пренебрегая эффектами приливов). Это происходит потому, что спутники GPS , вращающиеся вокруг центра тяжести Земли, могут измерять высоту только относительно геоцентрического референц-эллипсоида. Чтобы получить ортометрическую высоту , необходимо скорректировать необработанные показания GPS. И наоборот, высота, определенная путем нивелирования с помощью мареографа , как при традиционной топографической съемке, ближе к ортометрической высоте. Современные GPS-приемники имеют сетку, реализованную в их программном обеспечении, с помощью которой они получают из текущего положения высоту геоида (например, геоида EGM96) над эллипсоидом Всемирной геодезической системы (WGS). Затем они могут скорректировать высоту над эллипсоидом WGS до высоты над геоидом EGM96. Если высота на судне не равна нулю, расхождение обусловлено другими факторами, такими как океанские приливы, атмосферное давление (метеорологические эффекты), местная топография морской поверхности и погрешности измерений.

Экваториальный профиль волнистости геоида (красный) относительно референц-эллипсоида (черный), сильно преувеличен; см. также: трехосная Земля .

Определение

Волнистость геоида N тесно связана с возмущающим потенциалом T согласно формуле Брунса (названной в честь Генриха Брунса ):

${\displaystyle N=T/\gamma \,,}$

где - сила нормальной гравитации , вычисленная из нормального потенциала поля . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U}$

Другой способ определения N — использование значений аномалии силы тяжести , разницы между истинной и нормальной опорной силой тяжести, согласно ${\displaystyle \Delta g}$Формула Стокса (илиинтеграл Стокса), опубликованная в 1849 годуДжорджем Габриэлем Стоксом:

${\displaystyle N={\frac {R}{4\pi \gamma _{0}}}\iint _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\,d\sigma .}$

Интегральное ядро ​​S , называемое функцией Стокса , было получено Стоксом в замкнутой аналитической форме. ^[6] Обратите внимание, что определение любой точки на Земле с помощью этой формулы требует знания всей Земли , включая океаны, полярные области и пустыни. Для наземных гравиметрических измерений это практически невозможно, несмотря на тесное международное сотрудничество в рамках Международной ассоциации геодезии (IAG), например, через Международное бюро гравитации (BGI, Bureau Gravimétrique International). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta g}$

Другой подход к определению геоида заключается в объединении нескольких источников информации: не только наземной гравиметрии, но и спутниковых геодезических данных о фигуре Земли, полученных из анализа возмущений спутниковой орбиты, а в последнее время и из спутниковых гравитационных миссий, таких как GOCE и GRACE . В таких комбинированных решениях часть решения геоида с низким разрешением предоставляется спутниковыми данными, в то время как «настроенная» версия приведенного выше уравнения Стокса используется для вычисления части с высоким разрешением, только из наземных гравиметрических данных из окрестностей точки оценки.

Расчет волнистости является математически сложной задачей. ^{[7] [8]} Точное решение геоида, предложенное Петром Ваничеком и его коллегами, улучшило подход Стокса к вычислению геоида. ^{[9] Их решение обеспечивает} точность от миллиметра до сантиметра при вычислении геоида , что на порядок превышает предыдущие классические решения. ^{[10] [11] [12] [13]}

Волны геоида демонстрируют неопределенности, которые можно оценить с помощью нескольких методов, например, наименьших квадратов коллокации (LSC), нечеткой логики , искусственных нейронных сетей , радиальных базисных функций (RBF) и геостатистических методов. Геостатистический подход был определен как наиболее совершенный метод прогнозирования волн геоида. ^[14]

Связь с плотностью массы

Аномалии силы тяжести и геоида, вызванные различными изменениями толщины земной коры и литосферы относительно опорной конфигурации. Все настройки находятся под локальной изостатической компенсацией.

Изменения высоты геоидальной поверхности связаны с аномальным распределением плотности внутри Земли. Таким образом, геоидальные измерения помогают понять внутреннюю структуру планеты. Синтетические расчеты показывают, что геоидальная сигнатура утолщенной коры (например, в орогенных поясах, образованных столкновением континентов ) положительна, в противоположность тому, что следовало бы ожидать, если бы утолщение затрагивало всю литосферу . Мантийная конвекция также изменяет форму геоида с течением времени. ^[15]

Трехмерная визуализация гравитационных аномалий в единицах Гал. с использованием псевдоцвета и оттененного рельефа .

Поверхность геоида выше референц-эллипсоида везде, где есть положительная гравитационная аномалия или отрицательный возмущающий потенциал (избыток массы), и ниже референц-эллипсоида везде, где есть отрицательная гравитационная аномалия или положительный возмущающий потенциал (дефицит массы). ^[16]

Эту связь можно понять, вспомнив, что гравитационный потенциал определяется так, что он имеет отрицательные значения и обратно пропорционален расстоянию от тела. Таким образом, в то время как избыток массы усилит ускорение силы тяжести, он уменьшит потенциал силы тяжести. В результате определяющая эквипотенциальная поверхность геоида будет смещена от избытка массы. Аналогично, дефицит массы ослабит гравитационное притяжение, но увеличит геопотенциал на заданном расстоянии, заставляя геоид двигаться в сторону дефицита массы.

Присутствие локализованного включения в фоновой среде будет слегка поворачивать векторы ускорения силы тяжести в сторону или от более плотного или более легкого тела, соответственно, вызывая выпуклость или впадину на эквипотенциальной поверхности. ^[17]

Наибольшее абсолютное отклонение можно обнаружить в зоне геоида Индийского океана , на 106 метров ниже среднего уровня моря. ^[18] Другой крупной особенностью является геоидный максимум Северной Атлантики (или геоидная волна Северной Атлантики), вызванный отчасти тяжестью ледяного покрова над Северной Америкой и Северной Европой в позднекайнозойский ледниковый период . ^[19]

Временное изменение

Недавние спутниковые миссии, такие как Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer (GOCE) и GRACE , позволили изучить сигналы геоида, изменяющиеся во времени. Первые продукты, основанные на данных спутника GOCE, стали доступны онлайн в июне 2010 года через Европейское космическое агентство. ^{[20] [21]} ЕКА запустило спутник в марте 2009 года с целью картирования гравитации Земли с беспрецедентной точностью и пространственным разрешением. 31 марта 2011 года на Четвертом международном семинаре пользователей GOCE, проходившем в Мюнхенском техническом университете , Германия, была представлена ​​новая модель геоида. ^[22] Исследования с использованием геоида, изменяющегося во времени, вычисленного по данным GRACE, предоставили информацию о глобальных гидрологических циклах, ^[23] балансах массы ледяных щитов , ^[24] и послеледниковом восстановлении . ^[25] Измерения послеледникового отскока позволяют использовать данные GRACE, изменяющиеся во времени, для определения вязкости мантии Земли . ^[26]

Сферическое представление гармоник

Сферические гармоники часто используются для аппроксимации формы геоида. Текущий лучший такой набор коэффициентов сферических гармоник — EGM2020 (Earth Gravitational Model 2020), определенный в международном совместном проекте под руководством Национального агентства по картографии и визуализации (теперь Национальное агентство геопространственной разведки , или NGA). Математическое описание невращающейся части потенциальной функции в этой модели следующее: ^[27]

$${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right),}$$

где и являются геоцентрическими (сферическими) широтой и долготой соответственно, являются полностью нормализованными связанными полиномами Лежандра степени и порядка , а и являются числовыми коэффициентами модели, основанной на измеренных данных. Вышеуказанное уравнение описывает гравитационный потенциал Земли , а не сам геоид, в месте, где координата является геоцентрическим радиусом , т. е. расстоянием от центра Земли. Геоид является конкретной эквипотенциальной поверхностью ^[27] и несколько сложен для вычисления. Градиент этого потенциала также обеспечивает модель гравитационного ускорения. Наиболее часто используемая EGM96 содержит полный набор коэффициентов до степени и порядка 360 (т. е. ), описывающих детали в глобальном геоиде размером до 55 км (или 110 км, в зависимости от определения разрешения). Количество коэффициентов и можно определить, сначала наблюдая в уравнении для , что для определенного значения существует два коэффициента для каждого значения за исключением . Существует только один коэффициент, когда , так как . Таким образом, существуют коэффициенты для каждого значения . Используя эти факты и формулу, следует, что общее число коэффициентов определяется как ${\displaystyle \phi \ }$ ${\displaystyle \lambda \ }$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{nm}}$ ${\displaystyle n\ }$ ${\displaystyle m\ }$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$ ${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi ,\;\lambda ,\;r,\ }$ ${\displaystyle r\ }$ ${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$ ${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle \sin(0\lambda )=0}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum _{I=1}^{L}I={\frac {1}{2}}L(L+1)}$

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}(2n+1)=n_{\text{max}}(n_{\text{max}}+1)+n_{\text{max}}-3=130317}$$используя значение EGM96 . ${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$

Для многих приложений полный ряд оказывается излишне сложным и обрезается после нескольких (возможно, нескольких десятков) членов.

Тем не менее, были разработаны модели даже с более высоким разрешением. Многие из авторов EGM96 опубликовали EGM2008. Он включает в себя большую часть новых спутниковых гравитационных данных (например, Gravity Recovery and Climate Experiment ) и поддерживает до степени и порядка 2160 (1/6 степени, требуя более 4 миллионов коэффициентов), ^[28] с дополнительными коэффициентами, простирающимися до степени 2190 и порядка 2159. ^[29] EGM2020 — это международное продолжение, которое изначально было запланировано на 2020 год (все еще не выпущено в 2024 году), содержащее то же количество гармоник, сгенерированных с лучшими данными. ^[30]

Смотрите также

• Отклонение вертикали
• Геодезические данные
• Геопотенциал
• Международная земная система отсчета
• Физическая геодезия
• Планетарный геоид
  • Ареоид (геоид Марса)
  • Селеноид (геоид Луны)

Ссылки

1. "WGS 84, N=M=180 Earth Gravitational Model". NGA: Office of Geomatics . National Geospatial-Intelligence Agency. Архивировано из оригинала 8 августа 2020 года . Получено 17 декабря 2016 года .
2. Гаус, CF (1828). Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector (на немецком языке). Ванденхук и Рупрехт. п. 73 . Проверено 6 июля 2021 г.
3. Геодезия: Концепции. Петр Ваничек и Э.Дж. Краковский. Амстердам: Эльзевир. 1982 (первое издание): ISBN 0-444-86149-1 , ISBN 978-0-444-86149-8 . 1986 (третье изд.): ISBN 0-444-87777-0 , ISBN 978-0-444-87777-2 . АСИН  0444877770.    
4. "Определение гравитации Земли". GRACE – Gravity Recovery and Climate Experiment . Центр космических исследований ( Техасский университет в Остине ) / Техасский космический грантовый консорциум. 11 февраля 2004 г. Получено 22 января 2018 г.
5. Wormley, Sam. "GPS Orthometric Height". edu-observatory.org . Архивировано из оригинала 20 июня 2016 года . Получено 15 июня 2016 года .
6. Ван, Янь Мин (2016). «Геодезические краевые задачи». Энциклопедия геодезии . Cham: Springer International Publishing. стр. 1–8. doi :10.1007/978-3-319-02370-0_42-1. ISBN 978-3-319-02370-0.
7. Sideris, Michael G. (2011). «Определение геоида, теория и принципы». Энциклопедия геофизики твердой Земли . Серия «Энциклопедия наук о Земле». С. 356–362. doi :10.1007/978-90-481-8702-7_154. ISBN 978-90-481-8701-0. S2CID  241396148.
8. Sideris, Michael G. (2011). "Геоид, вычислительный метод". Энциклопедия геофизики твердой Земли . Серия "Энциклопедия наук о Земле". стр. 366–371. doi :10.1007/978-90-481-8702-7_225. ISBN 978-90-481-8701-0.
9. "UNB Precise Geoid Determination Package" . Получено 2 октября 2007 г.
10. Ваничек, П.; Клейсберг, А. (1987). «Канадский геоидно-стоксовский подход». Рукопись Геодетики . 12 (2): 86–98.
11. Ваничек, П.; Мартинец, З. (1994). «Составление точного регионального геоида» (PDF) . Рукопись Геодетики . 19 : 119–128.
12. Ваничек, П.; Клейсберг, А.; Мартинец, З.; Сан, В.; Онг, П.; Наджафи, М.; Вайда, П.; Гарри, Л.; Томасек, П.; тер Хорст, Б. Составление точного регионального геоида (PDF) (Отчет). Кафедра геодезии и геоматики Университета Нью-Брансуика. 184 . Проверено 22 декабря 2016 г.
13. Копейкин, Сергей; Эфроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2009). Релятивистская небесная механика солнечной системы . Weinheim: Wiley-VCH . стр. 704. ISBN 9783527408566.
14. Чикаиса, Е.Г.; Лейва, Калифорния; Арранц, Джей-Джей; Буэнао, XE (14 июня 2017 г.). «Пространственная неопределенность модели волнистости геоида в Гуаякиле, Эквадор». Открытые геолого-геофизические исследования . 9 (1): 255–265. Бибкод : 2017OGeo....9...21C. дои : 10.1515/geo-2017-0021 . ISSN  2391-5447.
15. Ричардс, MA; Хагер, BH (1984). «Аномалии геоида в динамической Земле». Журнал геофизических исследований . 89 (B7): 5987–6002. Bibcode : 1984JGR....89.5987R. doi : 10.1029/JB089iB07p05987.
16. Фаулер, CMR (2005). Твердая Земля; Введение в глобальную геофизику . Соединенное Королевство: Cambridge University Press . стр. 214. ISBN 9780521584098.
17. Лоури, В. (1997). Основы геофизики. Cambridge University Press. стр. 50. ISBN 978-0-521-46728-5. Получено 2 мая 2022 г. .
18. Раман, Спорти (16 октября 2017 г.). «Отсутствующая масса — что вызывает геоидный минимум в Индийском океане?». GeoSpace . Получено 2 мая 2022 г.
19. Карминати, Эудженио; Доглиони, Карло (2010). «Североатлантический геоидный максимум, вулканизм и оледенения». Geophysical Research Letters . 37 (3). Bibcode : 2010GeoRL..37.3302C. doi : 10.1029/2009GL041663. ISSN  0094-8276.
20. "ESA makes first GOCE dataset available". GOCE . Европейское космическое агентство . 9 июня 2010 г. Получено 22 декабря 2016 г.
21. "GOCE дает новые знания о гравитации Земли". GOCE . Европейское космическое агентство. 29 июня 2010 г. Архивировано из оригинала 2 июля 2010 г. Получено 22 декабря 2016 г.
22. «Земная гравитация раскрыта в беспрецедентных подробностях». GOCE . Европейское космическое агентство. 31 марта 2011 г. Получено 22 декабря 2016 г.
23. Шмидт, Р.; Швинцер, П.; Флехтнер, Ф.; Рейгбер, К.; Гунтнер, А.; Долл, П.; Рамильен, Г.; Казенав, А .; и др. (2006). «Наблюдения GRACE за изменениями в континентальном водохранилище». Глобальные и планетарные изменения . 50 (1–2): 112–126. Bibcode : 2006GPC....50..112S. doi : 10.1016/j.gloplacha.2004.11.018.
24. Ramillien, G.; Lombard, A.; Cazenave, A .; Ivins, E.; Llubes, M.; Remy, F.; Biancale, R. (2006). "Межгодовые изменения баланса массы ледяных щитов Антарктиды и Гренландии по данным GRACE". Global and Planetary Change . 53 (3): 198. Bibcode : 2006GPC....53..198R. doi : 10.1016/j.gloplacha.2006.06.003.
25. Вандервал, В.; Ву, П.; Сидерис, М.; Шум, К. (2008). «Использование GRACE определило вековые скорости гравитации для исследований ледникового изостатического регулирования в Северной Америке». Журнал геодинамики . 46 (3–5): 144. Bibcode : 2008JGeo...46..144V. doi : 10.1016/j.jog.2008.03.007.
26. Полсон, Арчи; Чжун, Шицзе; Вар, Джон (2007). «Вывод вязкости мантии из данных GRACE и относительного уровня моря». Geophysical Journal International . 171 (2): 497. Bibcode : 2007GeoJI.171..497P. doi : 10.1111/j.1365-246X.2007.03556.x .
27. Smith, Dru A. (1998). «Нет такого понятия, как „The“ EGM96 geoid: тонкие моменты использования глобальной геопотенциальной модели». IGeS Bulletin No. 8. Милан, Италия: Международная геоидная служба. стр. 17–28 . Получено 16 декабря 2016 г.
28. Павлис, NK; Холмс, SA; Кеньон, S.; Шмит, D.; Триммер, R. «Расширение гравитационного потенциала до степени 2160». Международный симпозиум IAG, гравитация, геоид и космическая миссия GGSM2004 . Порту, Португалия, 2004.
29. "Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008)". Национальное агентство геопространственной разведки . Архивировано из оригинала 8 мая 2010 года . Получено 9 сентября 2008 года .
30. Barnes, D.; Factor, JK; Holmes, SA; Ingalls, S.; Presicci, MR; Beale, J.; Fecher, T. (2015). «Gravitational Model 2020». AGU Fall Meeting Abstracts . 2015 : G34A–03. Bibcode : 2015AGUFM.G34A..03B.

Дальнейшее чтение

• Ли, Сюн; Гётце, Ханс-Юрген (ноябрь 2001 г.). «Эллипсоид, геоид, гравитация, геодезия и геофизика» (PDF) . Геофизика . 66 (6): 1660–1668. Bibcode :2001Geop...66.1660L. doi :10.1190/1.1487109.
• Мориц, Х. (март 2011 г.). «Современная перспектива структуры геоида». Журнал геодезической науки . 1 (1): 82–87. Bibcode :2011JGeoS...1...82M. doi : 10.2478/v10156-010-0010-7 .
• «Физическая геодезия». Геодезия для неспециалистов . NOAA. 1984.

Внешние ссылки

• Веб-страница NGA о гравитационных моделях Земли
• Веб-страница NASA о EGM96
• Веб-страница NOAA о моделях геоида
• Международный центр глобальных моделей Земли (ICGEM)
• Международная служба геоида (ISG)