Вперед мера

В финансах T - форвардная мера — это абсолютно непрерывная по отношению к нейтральной по отношению к риску мера ценообразования , но вместо использования денежного рынка в качестве числителя она использует облигацию со сроком погашения T. Впервые использование форвардной меры было предложено Фаршидом Джамшидианом (1987), а позднее она использовалась в качестве средства расчета цены опционов на облигации . ^[1]

Математическое определение

Пусть ^[2]

${\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

быть номером банковского счета или счета денежного рынка и

${\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

будет коэффициентом дисконтирования на рынке в момент времени 0 для срока погашения T. Если — мера, нейтральная к риску, то форвардная мера определяется через производную Радона–Никодима, заданную как ${\displaystyle Q_{*}}$ ${\displaystyle Q_{T}}$

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.}$

Обратите внимание, что это подразумевает, что форвардная мера и мера нейтрального риска совпадают, когда процентные ставки детерминированы. Кроме того, это частная форма формулы изменения numeraire путем изменения numeraire с денежного рынка или банковского счета B ( t ) на облигацию со сроком погашения T P ( t , T ). Действительно, если в общем случае

${\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]}$

— цена облигации с нулевым купоном в момент времени t для срока погашения T , где — фильтрация, обозначающая рыночную информацию в момент времени t , тогда мы можем записать ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}}$

из чего действительно ясно, что форвардная мера T связана с бескупонными облигациями со сроком погашения T как numeraire . Для более подробного обсуждения см. Brigo and Mercurio (2001).

Последствия

Название «форвардная мера» происходит от того факта, что в рамках форвардной меры форвардные цены являются мартингалами , факт, впервые отмеченный Геманом (1989) (который отвечает за формальное определение меры). ^[3] Сравните с фьючерсными ценами, которые являются мартингалами в рамках нейтральной по риску меры. Обратите внимание, что когда процентные ставки детерминированы, это подразумевает, что форвардные цены и фьючерсные цены одинаковы.

Например, дисконтированная цена акций представляет собой мартингейл при нейтральной к риску мере:

${\displaystyle S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}$

Форвардная цена определяется как . Таким образом, мы имеем ${\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}}$ ${\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}$

${\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}}$

используя производную Радона-Никодима и равенство . Последний член равен единице по определению цены облигации, так что мы получаем ${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}}$ ${\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}$

${\displaystyle F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}$

Ссылки

1. Джамшидиан, Фаршид (1989), «Точная формула ценообразования опционов на облигации», Журнал финансов , 44 : 205–209, doi : 10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x
2. Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.
3. Geman, H. (1989) Важность прямой нейтральной вероятности в стохастическом подходе процентных ставок. Рабочий документ, ESSEC.

• Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок — теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд. 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.

Смотрите также

• Мера, нейтральная к риску
• Форвардная цена