Метод конечных разностей во временной области

Метод численного анализа

В методе конечных разностей во временной области для дискретизации уравнений Максвелла в пространстве используется «решетка Йи» . Эта схема предполагает размещение электрических и магнитных полей на шахматной сетке.

Конечно-разностный метод во временной области ( FDTD ) или метод Йи (названный в честь китайско-американского прикладного математика Кейна С. Йи , родившегося в 1934 году) — это метод численного анализа , используемый для моделирования вычислительной электродинамики (поиска приближенных решений связанной системы дифференциальных уравнений ). Поскольку это метод во временной области , решения FDTD могут охватывать широкий диапазон частот за один прогон моделирования и обрабатывать нелинейные свойства материалов естественным образом.

Метод FDTD принадлежит к общему классу методов дифференциального численного моделирования на основе сеток ( методы конечных разностей ). Уравнения Максвелла , зависящие от времени (в форме частных производных ), дискретизируются с использованием центрально-разностных приближений к пространственным и временным частным производным . Полученные уравнения конечных разностей решаются либо программным, либо аппаратным способом скачком : компоненты вектора электрического поля в объеме пространства решаются в заданный момент времени; затем компоненты вектора магнитного поля в том же пространственном объеме решаются в следующий момент времени; и процесс повторяется снова и снова, пока желаемое переходное или стационарное поведение электромагнитного поля не будет полностью развито.

История

Конечно-разностные схемы для зависящих от времени частных дифференциальных уравнений (PDE) использовались в течение многих лет в задачах вычислительной гидродинамики , ^[1] включая идею использования центрированных конечно-разностных операторов на смещенных сетках в пространстве и времени для достижения точности второго порядка. ^[1] Новизна схемы FDTD Кейна Йи, представленной в его основополагающей статье 1966 года, ^[2] заключалась в применении центрированных конечно-разностных операторов на смещенных сетках в пространстве и времени для каждого компонента электрического и магнитного векторного поля в уравнениях ротора Максвелла. Дескриптор «Конечно-разностная временная область» и соответствующая ему аббревиатура «FDTD» были созданы Алленом Тафловом в 1980 году. ^[3] Начиная с 1990 года методы FDTD стали основными средствами для вычислительного моделирования многих научных и инженерных задач, связанных с взаимодействием электромагнитных волн с материальными структурами. Текущие приложения моделирования FDTD варьируются от почти постоянного тока (сверхнизкочастотная геофизика, охватывающая весь волновод Земля -ионосфера ) через микроволны (технология сигнатуры радара, антенны , беспроводные устройства связи, цифровые соединения, биомедицинская визуализация/лечение) до видимого света ( фотонные кристаллы , наноплазмоника , солитоны и биофотоника ) . ^[4] В 2006 году в научной и инженерной литературе появилось около 2000 публикаций, связанных с FDTD (см. Популярность). По состоянию на 2013 год существовало не менее 25 коммерческих/патентованных поставщиков программного обеспечения FDTD; 13 проектов FDTD с бесплатным программным обеспечением/программным обеспечением с открытым исходным кодом ; и 2 проекта FDTD с бесплатным программным обеспечением/программным обеспечением с закрытым исходным кодом, некоторые из которых не предназначены для коммерческого использования (см. Внешние ссылки).

Развитие FDTD и уравнений Максвелла

Оценка основы, технического развития и возможного будущего численных методов FDTD для уравнений Максвелла может быть получена путем рассмотрения их истории. Ниже перечислены некоторые ключевые публикации в этой области.

Модели и методы FDTD

При рассмотрении дифференциальных уравнений Максвелла можно увидеть, что изменение электрического поля во времени (производная по времени) зависит от изменения магнитного поля в пространстве (ротор ) . Это приводит к основному соотношению шага времени FDTD, что в любой точке пространства обновленное значение электрического поля во времени зависит от сохраненного значения электрического поля и числового ротора локального распределения магнитного поля в пространстве. ^[2]

H-поле шагается по времени аналогичным образом. В любой точке пространства обновленное значение H-поля во времени зависит от сохраненного значения H-поля и числового ротора локального распределения E-поля в пространстве. Итерация обновлений E-поля и H-поля приводит к процессу марширования во времени, в котором выборочные аналоги рассматриваемых непрерывных электромагнитных волн распространяются в числовой сетке, сохраненной в памяти компьютера.

Иллюстрация стандартной декартовой ячейки Йи, используемой для FDTD, вокруг которой распределены компоненты вектора электрического и магнитного поля. ^[2] Визуализированные как кубический воксель , компоненты электрического поля образуют ребра куба, а компоненты магнитного поля образуют нормали к граням куба. Трехмерная пространственная решетка состоит из множества таких ячеек Йи. Структура взаимодействия электромагнитных волн отображается в пространственной решетке путем назначения соответствующих значений диэлектрической проницаемости каждому компоненту электрического поля и проницаемости каждому компоненту магнитного поля.

Это описание справедливо для одномерных, двухмерных и трехмерных методов FDTD. При рассмотрении нескольких измерений вычисление численного ротора может стать сложным. В основополагающей статье Кейна Йи 1966 года было предложено пространственное разнесение векторных компонентов электрического и магнитного полей вокруг прямоугольных элементарных ячеек декартовой вычислительной сетки таким образом, чтобы каждый векторный компонент электрического поля находился посередине между парой векторных компонентов магнитного поля, и наоборот. ^[2] Эта схема, теперь известная как решетка Йи , оказалась очень надежной и остается основой многих современных программных конструкций FDTD.

Кроме того, Йи предложил схему скачкообразного перемещения во времени, в которой обновления электрического и магнитного полей смещены так, что обновления электрического поля проводятся на полпути в течение каждого временного шага между последовательными обновлениями магнитного поля, и наоборот. ^[2] С положительной стороны, эта явная схема временного шага позволяет избежать необходимости решать одновременные уравнения и, кроме того, обеспечивает численное распространение волн без рассеивания. С отрицательной стороны, эта схема требует верхней границы временного шага для обеспечения численной стабильности. ^[9] В результате, некоторые классы моделирования могут потребовать многих тысяч временных шагов для завершения.

Использование метода FDTD

Для реализации решения FDTD уравнений Максвелла сначала необходимо установить вычислительную область. Вычислительная область — это просто физическая область, в которой будет выполняться моделирование. Поля E и H определяются в каждой точке пространства в пределах этой вычислительной области. Необходимо указать материал каждой ячейки в пределах вычислительной области. Обычно материалом является либо свободное пространство (воздух), либо металл , либо диэлектрик . Можно использовать любой материал, если указаны проницаемость , диэлектрическая проницаемость и проводимость .

Диэлектрическая проницаемость дисперсных материалов в табличной форме не может быть напрямую подставлена ​​в схему FDTD. Вместо этого ее можно аппроксимировать с использованием нескольких членов Дебая, Друде, Лоренца или критической точки. Это приближение может быть получено с помощью программ открытой подгонки ^[70] и не обязательно имеет физический смысл.

После того, как вычислительная область и материалы сетки установлены, указывается источник. Источником может быть ток в проводе, приложенное электрическое поле или падающая плоская волна. В последнем случае FDTD может использоваться для моделирования рассеяния света от объектов произвольной формы, плоских периодических структур при различных углах падения, ^{[71] [72]} и фотонной зонной структуры бесконечных периодических структур. ^{[73] [74]}

Поскольку поля E и H определяются напрямую, выходом моделирования обычно является поле E или H в точке или ряде точек внутри вычислительной области. Моделирование развивает поля E и H вперед во времени.

Обработка может выполняться на полях E и H, возвращаемых моделированием. Обработка данных может также происходить во время моделирования.

В то время как метод FDTD вычисляет электромагнитные поля в компактной пространственной области, рассеянные и/или излучаемые дальние поля могут быть получены посредством преобразований ближнего поля в дальнее. ^[14]

Сильные стороны моделирования FDTD

У каждого метода моделирования есть свои сильные и слабые стороны, и метод FDTD не является исключением.

• FDTD — это универсальный метод моделирования, используемый для решения уравнений Максвелла. Он интуитивно понятен, поэтому пользователи могут легко понять, как его использовать, и знать, чего ожидать от данной модели.
• FDTD — это метод временной области, и когда в качестве источника используется широкополосный импульс (например, гауссовский импульс), то отклик системы в широком диапазоне частот может быть получен с помощью одной симуляции. Это полезно в приложениях, где резонансные частоты точно не известны, или в любое время, когда требуется широкополосный результат.
• Поскольку FDTD вычисляет поля E и H везде в вычислительной области по мере их развития во времени, он подходит для предоставления анимированных отображений движения электромагнитного поля через модель. Этот тип отображения полезен для понимания того, что происходит в модели, и для обеспечения правильной работы модели.
• Метод FDTD позволяет пользователю указывать материал во всех точках вычислительной области. Широкий спектр линейных и нелинейных диэлектрических и магнитных материалов может быть легко и естественно смоделирован.
• FDTD позволяет напрямую определять эффекты апертур. Можно обнаружить эффекты экранирования, а также поля как внутри, так и снаружи конструкции можно обнаружить напрямую или косвенно.
• FDTD напрямую использует поля E и H. Поскольку большинство приложений моделирования ЭМП/ЭМС интересуются полями E и H, удобно, что после запуска моделирования не нужно выполнять никаких преобразований для получения этих значений.

Слабые стороны моделирования FDTD

Числовая дисперсия сигнала квадратного импульса в простой одномерной схеме FDTD. Артефакты звона по краям импульса сильно акцентированы ( явление Гиббса ), и сигнал искажается по мере распространения, даже при отсутствии дисперсионной среды . Этот артефакт является прямым результатом схемы дискретизации. ^[4]

• Поскольку FDTD требует, чтобы вся вычислительная область была сеткой, а пространственная дискретизация сетки должна быть достаточно мелкой, чтобы разрешить как наименьшую длину электромагнитной волны, так и наименьшую геометрическую особенность в модели, можно разрабатывать очень большие вычислительные области, что приводит к очень длительному времени решения. Модели с длинными, тонкими особенностями (например, провода) трудно моделировать в FDTD из-за чрезмерно большой требуемой вычислительной области. Такие методы, как расширение собственных мод, могут предложить более эффективную альтернативу, поскольку они не требуют мелкой сетки вдоль направления z. ^[75]
• Не существует способа определить уникальные значения диэлектрической и магнитной проницаемости на границе раздела материалов.
• Пространственные и временные шаги должны удовлетворять условию CFL , иначе скачкообразное интегрирование, используемое для решения уравнения в частных производных, вероятно, станет нестабильным.
• FDTD находит поля E/H непосредственно везде в вычислительной области. Если требуются значения поля на некотором расстоянии, то, скорее всего, это расстояние заставит вычислительную область быть чрезмерно большой. Расширения дальнего поля доступны для FDTD, но требуют некоторого объема постобработки. ^[4]
• Поскольку симуляции FDTD вычисляют поля E и H во всех точках внутри вычислительной области, вычислительная область должна быть конечной, чтобы позволить ей находиться в памяти компьютера. Во многих случаях это достигается путем вставки искусственных границ в пространство симуляции. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы минимизировать ошибки, вносимые такими границами. Существует ряд доступных высокоэффективных поглощающих граничных условий (ABC) для моделирования бесконечной неограниченной вычислительной области. ^[4] Большинство современных реализаций FDTD вместо этого используют специальный поглощающий «материал», называемый идеально согласованным слоем (PML), для реализации поглощающих границ. ^{[42] [47]}
• Поскольку FDTD решается путем распространения полей вперед во временной области, электромагнитный временной отклик среды должен быть смоделирован явно. Для произвольного отклика это включает в себя вычислительно затратную временную свертку, хотя в большинстве случаев временной отклик среды (или дисперсию (оптика) ) можно адекватно и просто смоделировать с помощью либо метода рекурсивной свертки (RC), либо метода вспомогательного дифференциального уравнения (ADE), либо метода Z-преобразования. Альтернативным способом решения уравнений Максвелла , который может легко обрабатывать произвольную дисперсию, является псевдоспектральная пространственная область (PSSD) , которая вместо этого распространяет поля вперед в пространстве.

Методы усечения сетки

Наиболее часто используемые методы усечения сетки для задач моделирования FDTD с открытыми областями — это поглощающее граничное условие Мура (ABC), ^[13] Ляо ABC, ^[16] и различные формулировки идеально согласованного слоя (PML). ^{[4] [43] [42] [47]} Методы Мура и Ляо проще, чем PML. Однако PML (который технически является поглощающей областью, а не граничным условием как таковым ) может обеспечить на порядки величины более низкие отражения. Концепция PML была введена Ж.-П. Беренджером в основополагающей статье 1994 года в журнале Journal of Computational Physics. ^[42] С 1994 года первоначальная реализация Беренджера с разделенным полем была изменена и расширена до одноосного PML (UPML), сверточного PML (CPML) и PML более высокого порядка. Последние две формулировки PML обладают повышенной способностью поглощать затухающие волны и, следовательно, в принципе могут быть помещены ближе к моделируемой рассеивающей или излучающей структуре, чем исходная формулировка Беренджера.

Для уменьшения нежелательного числового отражения от PML можно использовать технику дополнительных поглощающих слоев. ^[76]

Популярность

Несмотря на общее увеличение количества академических публикаций за тот же период и общее расширение интереса ко всем методам вычислительной электродинамики (CEM), существует семь основных причин колоссального расширения интереса к подходам к вычислительному решению FDTD для уравнений Максвелла:

1. FDTD не требует обращения матрицы. Будучи полностью явным вычислением, FDTD избегает трудностей с обращениями матриц, которые ограничивают размер интегральных уравнений в частотной области и конечно-элементных моделей электромагнитных полей, как правило, менее чем 10 ⁹ неизвестных электромагнитных полей. ^[4] Были запущены модели FDTD с 10 ⁹ неизвестных полей; для этого числа нет внутренней верхней границы. ^[4]
2. FDTD является точным и надежным. Источники ошибок в расчетах FDTD хорошо изучены и могут быть ограничены, чтобы обеспечить точные модели для очень большого разнообразия проблем взаимодействия электромагнитных волн. ^[4]
3. FDTD обрабатывает импульсивное поведение естественным образом. Будучи методом временной области, FDTD напрямую вычисляет импульсный отклик электромагнитной системы. Таким образом, одна симуляция FDTD может обеспечить либо сверхширокополосные временные формы волн, либо синусоидальный стационарный отклик на любой частоте в пределах спектра возбуждения. ^[4]
4. FDTD обрабатывает нелинейное поведение естественным образом. Будучи методом временной области, FDTD напрямую вычисляет нелинейный отклик электромагнитной системы. Это позволяет естественно гибридизировать FDTD с наборами вспомогательных дифференциальных уравнений, которые описывают нелинейности либо с классической, либо с полуклассической точки зрения. ^[4] Одним из направлений исследований является разработка гибридных алгоритмов, которые объединяют классические электродинамические модели FDTD с явлениями, возникающими из квантовой электродинамики, особенно с вакуумными флуктуациями, такими как эффект Казимира . ^{[4] [77]}
5. FDTD — это систематический подход. С FDTD задание новой структуры для моделирования сводится к проблеме генерации сетки, а не к потенциально сложной переформулировке интегрального уравнения. Например, FDTD не требует вычисления структурно-зависимых функций Грина. ^[4]
6. Архитектуры компьютеров с параллельной обработкой данных стали доминировать в суперкомпьютерах. FDTD масштабируется с высокой эффективностью на компьютерах с параллельной обработкой данных на базе CPU и чрезвычайно хорошо на недавно разработанной технологии ускорителей на базе GPU. ^[4]
7. Возможности компьютерной визуализации стремительно растут. Хотя эта тенденция положительно влияет на все численные методы, она особенно выгодна для методов FDTD, которые генерируют временные массивы полевых величин, пригодные для использования в цветных видео для иллюстрации динамики поля. ^[4]

Тафлов утверждает, что совокупность этих факторов позволяет предположить, что FDTD останется одним из доминирующих методов вычислительной электродинамики (а также потенциально других мультифизических задач) ^{[4] .}

Смотрите также

• Вычислительная электродинамика
• Расширение собственных мод
• Метод распространения луча
• Конечно-разностная частотная область
• Метод конечных элементов
• Метод матрицы рассеяния
• Дискретное дипольное приближение

Ссылки

1. J. von Neumann; RD Richtmyer (март 1950). «Метод численного расчета гидродинамических ударов». Журнал прикладной физики . 21 (3): 232–237. Bibcode :1950JAP....21..232V. doi :10.1063/1.1699639.
2. Кейн Йи (1966). «Численное решение задач с начальными граничными значениями, включающих уравнения Максвелла в изотропных средах». Труды IEEE по антеннам и распространению радиоволн . 14 (3): 302–307. Bibcode : 1966ITAP...14..302Y. doi : 10.1109/TAP.1966.1138693. S2CID  122712881.
3. A. Taflove (1980). "Применение метода конечных разностей во временной области к задачам синусоидального стационарного электромагнитного проникновения" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 22 (3): 191–202. Bibcode :1980ITElC..22..191T. doi :10.1109/TEMC.1980.303879. S2CID  39236486.
4. Аллен Тафлов и Сьюзен С. Хагнесс (2005). Вычислительная электродинамика: метод конечных разностей во временной области, 3-е изд. Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9.
5. Адаптировано с разрешения Taflove и Hagness (2005).
6. Ричард Курант; Курт Отто Фридрихс; Ганс Леви (1928). «Über die partiellen Differenzengleichungen der Mathematischen Physik». Mathematische Annalen (на немецком языке). 100 (1): 32–74. Бибкод : 1928MatAn.100...32C. дои : 10.1007/BF01448839. ЖФМ  54.0486.01. MR  1512478. S2CID  120760331.
7. GG O'Brien, M. A Hyman и S. Kaplan (1950). «Исследование численного решения уравнений с частными производными». Журнал математической физики . 29 (1): 223–251. doi :10.1002/sapm1950291223. MR  0040805.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
8. Донг-Хоа Лам (1969). "Конечно-разностные методы решения задач электромагнитного рассеяния" (PDF) . Университет штата Миссисипи, Interaction Notes . 44 .
9. A. Taflove; ME Brodwin (1975). "Численное решение стационарных задач электромагнитного рассеяния с использованием зависящих от времени уравнений Максвелла" (PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (8): 623–630. Bibcode :1975ITMTT..23..623T. doi :10.1109/TMTT.1975.1128640.
10. A. Taflove; ME Brodwin (1975). "Вычисление электромагнитных полей и индуцированных температур в модели человеческого глаза, облученного микроволнами" (PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (11): 888–896. Bibcode :1975ITMTT..23..888T. doi :10.1109/TMTT.1975.1128708.
11. R. Holland (1977). "Threde: Код связи и рассеяния ЭМИ в свободном поле". IEEE Transactions on Nuclear Science . 24 (6): 2416–2421. Bibcode : 1977ITNS...24.2416H. doi : 10.1109/TNS.1977.4329229. S2CID  35395821.
12. KS Kunz; KM Lee (1978). «Трехмерное конечно-разностное решение внешнего отклика самолета на сложную переходную электромагнитную среду». IEEE Trans. Electromagn. Compat. 20 (2): 333–341. doi :10.1109/TEMC.1978.303727. S2CID  31666283.
13. G. Mur (1981). «Поглощающие граничные условия для конечно-разностного приближения уравнений электромагнитного поля во временной области». IEEE Trans. Electromagn. Compat. 23 (4): 377–382. doi :10.1109/TEMC.1981.303970. S2CID  25768246.
14. KR Umashankar; A. Taflove (1982). "Новый метод анализа электромагнитного рассеяния сложных объектов" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 24 (4): 397–405. Bibcode :1982ITElC..24..397U. doi :10.1109/TEMC.1982.304054. S2CID  37962500.
15. A. Taflove; KR Umashankar (1983). "Radar Equation Section of General Three-Dear Scatterers" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 25 (4): 433–440. doi :10.1109/TEMC.1983.304133. S2CID  40419955.
16. ZP Liao; HL Wong; BP Yang; YF Yuan (1984). «Передающая граница для анализа переходных волн». Scientia Sinica, Серия A. 27 : 1063–1076.
17. W. Gwarek (1985). «Анализ произвольной формы планарной цепи — подход во временной области». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . 33 (10): 1067–1072. Bibcode : 1985ITMTT..33.1067G. doi : 10.1109/TMTT.1985.1133170.
18. DH Choi; WJ Hoefer (1986). «Метод конечных разностей во временной области и его применение к задачам на собственные значения». IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 34 (12): 1464–1470. Bibcode : 1986ITMTT..34.1464C. doi : 10.1109/TMTT.1986.1133564.
19. GA Kriegsmann; A. Taflove; KR Umashankar (1987). "Новая формулировка рассеяния электромагнитных волн с использованием подхода с граничными условиями излучения на поверхности" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (2): 153–161. Bibcode :1987ITAP...35..153K. doi :10.1109/TAP.1987.1144062.
20. TG Moore; JG Blaschak; A. Taflove; GA Kriegsmann (1988). "Теория и применение граничных операторов излучения" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (12): 1797–1812. Bibcode :1988ITAP...36.1797M. doi :10.1109/8.14402.
21. KR Umashankar; A. Taflove; B. Beker (1987). «Расчет и экспериментальная проверка индуцированных токов на связанных проводах в полости произвольной формы» (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (11): 1248–1257. Bibcode :1987ITAP...35.1248U. doi :10.1109/TAP.1987.1144000.
22. A. Taflove; KR Umashankar; B. Beker; FA Harfoush; KS Yee (1988). «Подробный анализ FDTD электромагнитных полей, проникающих в узкие щели и нахлесточные соединения в толстых проводящих экранах» (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (2): 247–257. Bibcode :1988ITAP...36..247T. doi :10.1109/8.1102.
23. TG Jurgens; A. Taflove; KR Umashankar; TG Moore (1992). "Конечно-разностное моделирование во временной области криволинейных поверхностей" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 40 (4): 357–366. Bibcode :1992ITAP...40..357J. doi :10.1109/8.138836.
24. DM Sullivan; OP Gandhi; A. Taflove (1988). «Использование метода конечных разностей во временной области при расчете поглощения электромагнитного излучения в моделях человека» (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 35 (3): 179–186. doi :10.1109/10.1360. PMID  3350546. S2CID  20350396.
25. X. Zhang; J. Fang; KK Mei; Y. Liu (1988). «Расчет дисперсионных характеристик микрополосок методом конечных разностей во временной области». Труды IEEE по теории и технике микроволн . 36 (2): 263–267. Bibcode : 1988ITMTT..36..263Z. doi : 10.1109/22.3514.
26. T. Kashiwa; I. Fukai (1990). «Обработка дисперсионных характеристик, связанных с электронной поляризацией, методом FDTD». Microwave and Optical Technology Letters . 3 (6): 203–205. doi :10.1002/mop.4650030606.
27. Р. Любберс; Ф. Хансбергер; К. Кунц; Р. Стэндлер; М. Шнайдер (1990). «Формулировка временной области с конечной разностью, зависящей от частоты, для дисперсионных материалов». IEEE Trans. Electromagn. Compat. 32 (3): 222–227. doi :10.1109/15.57116.
28. RM Joseph; SC Hagness; A. Taflove (1991). "Прямое интегрирование по времени уравнений Максвелла в линейных дисперсионных средах с поглощением для рассеяния и распространения фемтосекундных электромагнитных импульсов" (PDF) . Optics Letters . 16 (18): 1412–4. Bibcode :1991OptL...16.1412J. doi :10.1364/OL.16.001412. PMID  19776986.
29. JG Maloney; GS Smith; WR Scott Jr. (1990). «Точное вычисление излучения простых антенн с использованием метода конечных разностей во временной области». Труды IEEE по антеннам и распространению радиоволн . 38 (7): 1059–1068. Bibcode : 1990ITAP...38.1059M. doi : 10.1109/8.55618. S2CID  31583883.
30. DS Katz; A. Taflove ; MJ Piket-May ; KR Umashankar (1991). "Анализ FDTD электромагнитного волнового излучения от систем, содержащих рупорные антенны" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 39 (8): 1203–1212. Bibcode : 1991ITAP...39.1203K. doi : 10.1109/8.97356.
31. PA Tirkas; CA Balanis (1991). "Конечно-разностный метод во временной области для излучения рупорных антенн". Antennas and Propagation Society Symposium 1991 Digest . Vol. 3. pp. 1750–1753. doi :10.1109/APS.1991.175196. ISBN 978-0-7803-0144-3. S2CID  122038624.
32. E. Sano; T. Shibata (1990). «Полноволновой анализ пикосекундных фотопроводящих переключателей». IEEE Journal of Quantum Electronics . 26 (2): 372–377. Bibcode : 1990IJQE...26..372S. doi : 10.1109/3.44970.
33. SM El-Ghazaly; RP Joshi; RO Grondin (1990). «Электромагнитные и транспортные соображения при моделировании субпикосекундных фотопроводящих переключателей». Труды IEEE по теории и технике микроволн . 38 (5): 629–637. Bibcode : 1990ITMTT..38..629E. doi : 10.1109/22.54932.
34. PM Goorjian; A. Taflove (1992). "Прямое интегрирование по времени уравнений Максвелла в нелинейных дисперсионных средах для распространения и рассеяния фемтосекундных электромагнитных солитонов" (PDF) . Optics Letters . 17 (3): 180–182. Bibcode :1992OptL...17..180G. doi :10.1364/OL.17.000180. PMID  19784268.
35. RW Ziolkowski; JB Judkins (1993). "Моделирование самофокусировки ультракоротких оптических импульсов в нелинейной среде Керра с помощью полноволновых векторных уравнений Максвелла, демонстрирующих конечное время отклика". Журнал оптического общества Америки B. 10 ( 2): 186–198. Bibcode : 1993JOSAB..10..186Z. doi : 10.1364/JOSAB.10.000186.
36. RM Joseph; PM Goorjian; A. Taflove (1993). "Прямое интегрирование по времени уравнений Максвелла в двумерных диэлектрических волноводах для распространения и рассеяния фемтосекундных электромагнитных солитонов" (PDF) . Optics Letters . 18 (7): 491–3. Bibcode :1993OptL...18..491J. doi :10.1364/OL.18.000491. PMID  19802177.
37. RM Joseph; A. Taflove (1994). "Пространственный механизм отклонения солитона, указанный моделированием уравнений Максвелла FDTD" (PDF) . IEEE Photonics Technology Letters . 2 (10): 1251–1254. Bibcode :1994IPTL....6.1251J. doi :10.1109/68.329654. S2CID  46710331.
38. W. Sui; DA Christensen; CH Durney (1992). «Расширение двумерного метода FDTD на гибридные электромагнитные системы с активными и пассивными сосредоточенными элементами». IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 40 (4): 724–730. Bibcode : 1992ITMTT..40..724S. doi : 10.1109/22.127522.
39. B. Toland; B. Houshmand; T. Itoh (1993). «Моделирование нелинейных активных областей с помощью метода FDTD». IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 3 (9): 333–335. doi :10.1109/75.244870. S2CID  27549555.
40. Aoyagi, PH; Lee, JF; Mittra, R. (1993). «Гибридный подход на основе алгоритма Йи/скалярно-волнового уравнения». Труды IEEE по теории и технике микроволн . 41 (9): 1593–1600. Bibcode : 1993ITMTT..41.1593A. doi : 10.1109/22.245683.
41. VA Thomas; ME Jones; MJ Piket-May ; A. Taflove; E. Harrigan (1994). «Использование сосредоточенных схем SPICE в качестве моделей подсеток для проектирования высокоскоростных электронных схем FDTD» (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (5): 141–143. doi :10.1109/75.289516. S2CID  32905331.
42. J. Berenger (1994). "Идеально согласованный слой для поглощения электромагнитных волн" (PDF) . Журнал вычислительной физики . 114 (2): 185–200. Bibcode :1994JCoPh.114..185B. doi :10.1006/jcph.1994.1159.
43. EA Navarro; C. Wu; PY Chung; J. Litva (1994). "Применение сверхпоглощающего граничного условия PML к неортогональному методу FDTD". Electronics Letters . 30 (20): 1654–1656. Bibcode : 1994ElL....30.1654N. doi : 10.1049/el:19941139.
44. DS Katz; ET Thiele; A. Taflove (1994). "Проверка и расширение на три измерения поглощающего граничного условия Беренджера PML для сеток FDTD" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (8): 268–270. doi :10.1109/75.311494. S2CID  10156811.
45. CE Reuter; RM Joseph; ET Thiele; DS Katz; A. Taflove (1994). "Условие сверхширокополосного поглощения для окончания волноводных структур в моделировании FDTD" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (10): 344–346. doi :10.1109/75.324711. S2CID  24572883.
46. WC Chew; WH Weedon (1994). «Трехмерная идеально согласованная среда из модифицированных уравнений Максвелла с растянутыми координатами». Microwave and Optical Technology Letters . 7 (13): 599–604. Bibcode : 1994MiOTL...7..599C. doi : 10.1002/mop.4650071304.
47. SD Gedney (1996). "Анизотропная идеально согласованная поглощающая среда слоя для усечения решеток FDTD". Труды IEEE по антеннам и распространению . 44 (12): 1630–1639. Bibcode : 1996ITAP...44.1630G. doi : 10.1109/8.546249.
48. ZS Sacks; DM Kingsland; R. Lee; JF Lee (1995). «Идеально согласованный анизотропный поглотитель для использования в качестве поглощающего граничного условия». Труды IEEE по антеннам и распространению радиоволн . 43 (12): 1460–1463. Bibcode : 1995ITAP...43.1460S. doi : 10.1109/8.477075.
49. QH Liu (1997). "Псевдоспектральный метод во временной области (PSTD): новый алгоритм для решений уравнений Максвелла". IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium 1997. Digest . Vol. 1. pp. 122–125. doi :10.1109/APS.1997.630102. ISBN 978-0-7803-4178-4. S2CID  21345353.
50. OM Ramahi (1997). «Метод дополнительных операторов в моделировании FDTD». Журнал IEEE Antennas and Propagation . 39 (6): 33–45. Bibcode : 1997IAPM...39...33R. doi : 10.1109/74.646801.
51. JG Maloney; MP Kesler (1998). "Анализ периодических структур". Глава 6 в книге Advances in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove, Ed., Artech House, Publishers .
52. AS Nagra; RA York (1998). "FDTD-анализ распространения волн в нелинейных поглощающих и усиливающих средах". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 46 (3): 334–340. Bibcode : 1998ITAP...46..334N. doi : 10.1109/8.662652.
53. SC Hagness; A. Taflove; JE Bridges (1998). «Двумерный FDTD-анализ импульсной микроволновой конфокальной системы для обнаружения рака груди: датчики с фиксированным фокусом и антенной решеткой» (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 45 (12): 1470–1479. doi :10.1109/10.730440. PMID  9835195. S2CID  6169784.
54. JB Schneider; CL Wagner (1999). «Повторный взгляд на дисперсию FDTD: распространение со скоростью, превышающей скорость света». IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 54–56. CiteSeerX 10.1.1.77.9132 . doi :10.1109/75.755044. 
55. F. Zhen; Z. Chen; J. Zhang (2000). «К разработке трехмерного безусловно устойчивого метода конечных разностей во временной области». IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 48 (9): 1550–1558. Bibcode : 2000ITMTT..48.1550Z. doi : 10.1109/22.869007.
56. F. Zheng; Z. Chen (2001). "Численный дисперсионный анализ безусловно устойчивого 3-D метода ADI-FDTD". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 49 (5): 1006–1009. Bibcode :2001ITMTT..49.1006Z. doi :10.1109/22.920165.
57. JA Roden; SD Gedney (2000). "Convolution PML (CPML): эффективная реализация FDTD CFS-PML для произвольных сред". Microwave and Optical Technology Letters . 27 (5): 334–339. doi :10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A. Архивировано из оригинала 2013-01-05.
58. T. Rylander; A. Bondeson (2000). "Стабильный гибридный метод FDTD-FEM для уравнений Максвелла". Computer Physics Communications . 125 (1–3): 75–82. doi :10.1016/S0010-4655(99)00463-4.
59. M. Hayakawa; T. Otsuyama (2002). "FDTD-анализ распространения ELF-волн в неоднородных моделях субионосферных волноводов". ACES Journal . 17 : 239–244. Архивировано из оригинала 27 мая 2012 г.
60. JJ Simpson; A. Taflove (2002). "Двумерная модель FDTD антиподального распространения ELF и резонанса Шумана Земли" (PDF) . IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . 1 (2): 53–56. Bibcode :2002IAWPL...1...53S. CiteSeerX 10.1.1.694.4837 . doi :10.1109/LAWP.2002.805123. S2CID  368964. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-17. 
61. H. De Raedt; K. Michielsen; JS Kole; MT Figge (2003). «Решение уравнений Максвелла методом Чебышева: одношаговый алгоритм конечных разностей во временной области». IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 51 (11): 3155–3160. arXiv : physics/0208060 . Bibcode : 2003ITAP...51.3155D. doi : 10.1109/TAP.2003.818809. S2CID  119095479.
62. A. Soriano; EA Navarro; J. Portí; V. Such (2004). «Анализ метода конечных разностей во временной области для решения уравнения Шредингера для квантовых устройств». Журнал прикладной физики . 95 (12): 8011–8018. Bibcode : 2004JAP....95.8011S. doi : 10.1063/1.1753661. hdl : 10550/12837 .
63. I. Ahmed; EK Chua; EP Li; Z. Chen (2008). «Разработка трехмерного безусловно устойчивого метода LOD-FDTD». IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 56 (11): 3596–3600. Bibcode : 2008ITAP...56.3596A. doi : 10.1109/TAP.2008.2005544. S2CID  31351974.
64. Taniguchi, Y.; Baba, Y.; N. Nagaoka; A. Ametani (2008). «Улучшенное представление тонких проводов для вычислений FDTD». Труды IEEE по антеннам и распространению радиоволн . 56 (10): 3248–3252. Bibcode : 2008ITAP...56.3248T. doi : 10.1109/TAP.2008.929447. S2CID  29617214.
65. RMS de Oliveira; CLSS Sobrinho (2009). «Вычислительная среда для моделирования ударов молнии на подстанции электропитания методом конечных разностей во временной области». Труды IEEE по электромагнитной совместимости . 51 (4): 995–1000. doi :10.1109/TEMC.2009.2028879.
66. FI Moxley III; T. Byrnes; F. Fujiwara; W. Dai (2012). «Обобщенный конечно-разностный квантовый метод во временной области для гамильтониана взаимодействия N тел». Computer Physics Communications . 183 (11): 2434–2440. Bibcode : 2012CoPhC.183.2434M. doi : 10.1016/j.cpc.2012.06.012.
67. FI Moxley III; DT Chuss; W. Dai (2013). «Обобщенная конечно-разностная схема во временной области для решения нелинейных уравнений Шредингера». Computer Physics Communications . 184 (8): 1834–1841. Bibcode : 2013CoPhC.184.1834M. doi : 10.1016/j.cpc.2013.03.006.
68. Фредерик Моксли и др. (2014). Contemporary Mathematics: Mathematics of Continuous and Discrete Dynamical Systems. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-9862-8.
69. RMS de Oliveira; RR Paiva (2021). «Наименьшие квадраты конечной разности во временной области». Труды IEEE по антеннам и распространению . 69 (9): 6111–6115. Bibcode : 2021ITAP...69.6111D. doi : 10.1109/TAP.2021.3069576. S2CID  234307029.
70. «Подгонка диэлектрической функции».
71. И. Валуев; А. Дейнега; С. Белоусов (2008). "Итерационный метод анализа периодических структур при косом падении в методе конечных разностей во временной области". Opt. Lett . 33 (13): 1491–3. Bibcode :2008OptL...33.1491V. doi :10.1364/ol.33.001491. PMID  18594675.
72. A. Aminian; Y. Rahmat-Samii (2006). «Спектральный FDTD: новый метод анализа косо падающей плоской волны на периодические структуры». IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 54 (6): 1818–1825. Bibcode : 2006ITAP...54.1818A. doi : 10.1109/tap.2006.875484. S2CID  25120679.
73. А. Дейнега; С. Белоусов; И. Валуев (2009). "Гибридный метод FDTD с матрицей переноса для слоистых периодических структур". Opt. Lett . 34 (6): 860–2. Bibcode :2009OptL...34..860D. doi :10.1364/ol.34.000860. PMID  19282957. S2CID  27742034.
74. Y. Hao; R. Mittra (2009). FDTD-моделирование метаматериалов: теория и приложения. Artech House Publishers.
75. Д. Галлахер (2008). "Фотоника САПР становится зрелой" (PDF) . Информационный бюллетень LEOS .
76. А. Дейнега; И. Валуев (2011). "Длительное поведение поглощающих границ PML для слоистых периодических структур". Comput. Phys. Commun . 182 (1): 149–151. Bibcode :2011CoPhC.182..149D. doi :10.1016/j.cpc.2010.06.006.
77. SG Johnson, «Численные методы вычисления взаимодействий Казимира», в Casimir Physics (редакторы D. Dalvit, P. Milonni , D. Roberts и F. da Rosa), т. 834 Lecture Notes in Physics , гл. 6, стр. 175–218, Berlin: Springer, июнь 2011 г.

Дальнейшее чтение

Следующая статья в журнале Nature Milestones: Photons иллюстрирует историческое значение метода FDTD по отношению к уравнениям Максвелла:

• Дэвид Пайл (май 2010 г.). "Веха 2 (1861 г.) Уравнения Максвелла". Nature Milestones: Photons . doi : 10.1038/nmat2639 . Получено 17 июня 2010 г. .

Интервью Аллена Тафлова "Численное решение" в выпуске журнала Nature Photonics за январь 2015 года , посвященном 150-летию публикации уравнений Максвелла. В этом интервью затрагивается вопрос о том, как развитие FDTD связано с полуторавековой историей теории электродинамики Максвелла:

• Интервью Nature Photonics

Следующие университетские учебники дают хорошее общее введение в метод FDTD:

• Карл С. Кунц; Рэймонд Дж. Любберс (1993). Метод конечных разностей во временной области для электромагнетизма. CRC Press. ISBN 978-0-8493-8657-2. Архивировано из оригинала 2007-12-10 . Получено 2006-08-05 .

• Аллен Тафлов ; Сьюзен С. Хагнесс (2005). Вычислительная электродинамика: метод конечных разностей во временной области, 3-е изд. Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9.

• Вэньхуа Юй; Радж Миттра; Тао Су; Юнцзюнь Лю; Сяолин Ян (2006). Параллельный метод конечных разностей во временной области. Artech House Publishers. ISBN 978-1-59693-085-8.

• Джон Б. Шнайдер (2010). Понимание метода FDTD. доступно онлайн.

Внешние ссылки

Проекты FDTD свободного программного обеспечения / ПО с открытым исходным кодом :

• FDTD++: передовое, полнофункциональное программное обеспечение FDTD, а также сложные модели материалов и предопределенные подгонки, а также форумы для обсуждения/поддержки и поддержка по электронной почте
• openEMS (решатель EC-FDTD для полностью 3D-декартовых и цилиндрических градуированных сеток, написанный на C++ с использованием интерфейса Matlab / Octave )
• pFDTD (коды FDTD 3D C++, разработанные Se-Heon Kim)
• JFDTD (коды FDTD 2D/3D C++, разработанные для нанофотоники Джеффри М. Макмахоном)
• WOLFSIM Архивировано 2008-07-02 в Wayback Machine (NCSU) (2-D)
• Meep ( MIT , 2D/3D/цилиндрический параллельный FDTD)
• (Гео-) Радар FDTD
• bigboy (не поддерживается, нет файлов релиза. необходимо получить исходный код из cvs)
• Параллельные (MPI&OpenMP) коды FDTD на C++ (разработаны Ж. Сабо)
• Код FDTD на языке Fortran 90
• Код FDTD на языке C для моделирования 2D электромагнитных волн
• Angora (пакет программного обеспечения FDTD для трехмерного параллельного моделирования, поддерживаемый Илкером Р. Капоглу)
• GSvit (3D FDTD решатель с поддержкой вычислений на графической карте, написан на языке C, доступен графический пользовательский интерфейс XSvit)
• gprMax (Open Source (GPLv3), код моделирования 3D/2D FDTD на Python/Cython, разработанный для георадара, но может использоваться и для общего моделирования ЭМ.)

Бесплатные / закрытые проекты FDTD (некоторые не для коммерческого использования):

• EMTL (Electromagnetic Template Library) (Бесплатная библиотека С++ для электромагнитного моделирования. Текущая версия реализует в основном FDTD).