Пространство, подлежащее второму счету

Топологическое пространство, топология которого имеет счетную базу

В топологии , второе по счету пространство , также называемое полностью отделимым пространством , является топологическим пространством , топология которого имеет счетную базу . Более явно, топологическое пространство является вторым по счету , если существует некоторая счетная совокупность открытых подмножеств , такая что любое открытое подмножество может быть записано как объединение элементов некоторого подсемейства . Говорят, что второе по счету пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности . Как и другие аксиомы счетности , свойство быть вторым по счету ограничивает число открытых множеств, которые может иметь пространство. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Многие « хорошо себя ведущие » пространства в математике являются счетно-второстепенными. Например, евклидово пространство ( Rn ) с его обычной топологией является счетно-второстепенным. Хотя обычная база открытых шаров несчетна , можно ограничиться набором всех открытых шаров с рациональными радиусами и центрами ^, имеющими рациональные координаты. Этот ограниченный набор счетен и по-прежнему образует базис.

Характеристики

Вторая счетность является более сильным понятием, чем первая счетность . Пространство является первой счетностью, если каждая точка имеет счетную локальную базу . Если задана база для топологии и точка x , множество всех базисных множеств, содержащих x, образует локальную базу в точке x . Таким образом, если у кого-то есть счетная база для топологии, то у кого-то есть счетная локальная база в каждой точке, и, следовательно, каждое пространство, поддающееся второй счетности, является также пространством, поддающимся первой счетности. Однако любое несчетное дискретное пространство является первой счетностью, но не второй счетностью.

Из счетности по второму счету вытекают некоторые другие топологические свойства. В частности, каждое пространство, удовлетворяющее счету по второму счету, является сепарабельным (имеет счетное плотное подмножество) и линделефовым (каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие). Обратные импликации не выполняются. Например, топология нижнего предела на действительной прямой является топологией по первому счету, сепарабельной и линделефовой, но не по второму счету. Однако для метрических пространств свойства быть счетно по второму счету, сепарабельной и линделефовой эквивалентны. ^[1] Следовательно, топология нижнего предела на действительной прямой не является метризуемой.

В пространствах со счетной функцией второго порядка, как и в метрических пространствах, компактность , секвенциальная компактность и счетная компактность являются эквивалентными свойствами.

Теорема метризации Урысона утверждает, что каждое вторично-счетное, регулярное по Хаусдорфу пространство метризуемо . Из этого следует, что каждое такое пространство полностью нормально, а также паракомпактно . Таким образом, вторично-счетность является довольно ограничительным свойством топологического пространства, требующим только аксиомы разделения , чтобы подразумевать метризуемость.

Другие свойства

• Непрерывный, открытый образ пространства, поддающегося секундному счету, является пространством, поддающимся секундному счету.
• Каждое подпространство пространства, удовлетворяющего второй арифметической системе счёта, удовлетворяет второй арифметической системе счёта.
• Частные пространств, поддающихся вторичной счетности, не обязаны быть вторичной счетностью; однако открытые частные всегда таковыми являются.
• Любое счетное произведение пространства, поддающегося секундной счетности, является секундной счетностью, хотя несчетные произведения не обязаны таковыми быть.
• Топология пространства T1 со счетной второй степенью _имеет мощность , меньшую или равную c ( мощность континуума ).
• Любая база для второго счетного пространства имеет счетное подсемейство, которое по-прежнему является базой.
• Любая совокупность непересекающихся открытых множеств в пространстве, допускающем вторую счетность, счетна.

Примеры

• Рассмотрим непересекающееся счетное объединение . Определим отношение эквивалентности и топологию факторизации , определив левые концы интервалов, то есть определим 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k и так далее. X является счетно-второстепенным, как счетное объединение счетно-второстепенных пространств. Однако X /~ не является счетно-второстепенным в смежном классе и, следовательно, также не является счетно-второстепенным. ${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$
• Вышеуказанное пространство не гомеоморфно тому же множеству классов эквивалентности, наделённому очевидной метрикой: т. е. регулярному евклидову расстоянию для двух точек в одном интервале и сумме расстояний до левой точки для точек, не входящих в один интервал, — что даёт строго более грубую топологию, чем вышеуказанное пространство. Это сепарабельное метрическое пространство (рассмотрим множество рациональных точек), и, следовательно, является вторично-счетным.
• Длинная строка не учитывается во втором порядке исчисления, но учитывается в первом порядке исчисления.

Примечания

1. Уиллард, теорема 16.11, стр. 112

Ссылки

• Стивен Уиллард, Общая топология , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Рединг, Массачусетс.
• Джон Г. Хокинг и Гейл С. Янг (1961). Топология. Исправленное переиздание, Дувр, 1988. ISBN  0-486-65676-4