Сэр Уильям Валланс Дуглас Ходж FRS FRSE [2] ( / h ɒ dʒ / ; 17 июня 1903 — 7 июля 1975) — британский математик, в частности геометр . [3] [4]
Его открытие далеко идущих топологических связей между алгебраической геометрией и дифференциальной геометрией — область, которая сейчас называется теорией Ходжа и в более общем смысле относится к кэлеровым многообразиям — оказало большое влияние на последующие работы в области геометрии.
Ходж родился в Эдинбурге в 1903 году, младший сын и второй из трех детей Арчибальда Джеймса Ходжа (1869–1938), искателя рекордов на рынке недвижимости и партнера фирмы «Дуглас и компания», и его жены Джейн. (род. 1875), дочь владельца кондитерского бизнеса Уильяма Валланса. [5] [6] [7] Они жили по адресу: 1 Church Hill Place в районе Морнингсайд . [8]
Он посещал колледж Джорджа Уотсона и учился в Эдинбургском университете , получив степень магистра в 1923 году. С помощью Э. Т. Уиттакера , чей сын Дж. М. Уиттакер был другом колледжа, он затем поступил в качестве аффилированного студента в колледж Святого Иоанна в Кембридже , чтобы учиться Математический Трипос . В Кембридже он попал под влияние геометра Х. Ф. Бейкера . Он получил Кембриджскую степень бакалавра в 1925 году, степень магистра в 1930 году и степень доктора наук (ScD) в 1950 году .
В 1926 он занял должность преподавателя в Бристольском университете и начал работу над взаимодействием итальянской школы алгебраической геометрии , в частности задач, поставленных Франческо Севери , и топологическими методами Соломона Лефшеца . Это создало ему репутацию, но вызвало некоторый первоначальный скептицизм со стороны Лефшеца. Согласно мемуарам Атьи , Лефшец и Ходж в 1931 году встретились в комнатах Макса Ньюмана в Кембридже, чтобы попытаться решить проблемы. В конце концов Лефшец убедился. [2] В 1928 году он был избран членом Королевского общества Эдинбурга . Его предложениями были сэр Эдмунд Тейлор Уиттакер , Ральф Аллан Сэмпсон , Чарльз Гловер Баркла и сэр Чарльз Гальтон Дарвин . Он был награжден Юбилейной премией Общества Ганнинга Виктории за период с 1964 по 1968 год .
В 1930 году Ходж получил исследовательскую стипендию в колледже Святого Иоанна в Кембридже. 1931–1932 годы он провел в Принстонском университете , где учился Лефшец, а также посетил Оскара Зариски в Университете Джонса Хопкинса . В это время он также усваивал теорему де Рама и определял операцию звезды Ходжа . Это позволило бы ему определить гармонические формы и таким образом усовершенствовать теорию де Рама.
По возвращении в Кембридж ему предложили должность преподавателя университета в 1933 году. Он стал профессором Лаундина астрономии и геометрии в Кембридже и занимал эту должность с 1936 по 1970 год. Он был первым главой DPMMS .
Он был магистром Пембрук-колледжа в Кембридже с 1958 по 1970 год и вице-президентом Королевского общества с 1959 по 1965 год. В 1959 году он был посвящен в рыцари. Среди других наград он получил премию Адамса в 1937 году и медаль Копли Королевское общество в 1974 году.
Он умер в Кембридже 7 июля 1975 года.
Теорема Ходжа об индексе была результатом теории чисел пересечений кривых на алгебраической поверхности : она определяет сигнатуру соответствующей квадратичной формы . Этот результат искала итальянская школа алгебраической геометрии , но был доказан топологическими методами Лефшеца .
В книге «Теория и приложения гармонических интегралов» [11] подытожена разработка Ходжем его общей теории в 1930-е годы. Это начинается с существования для любой кэлеровой метрики теории лапласианов – это применимо к алгебраическому многообразию V (предполагаемому комплексным , проективным и неособым ), поскольку само проективное пространство несет такую метрику. В терминах когомологий де Рама класс когомологий степени k представляется k -формой α на V ( C ). Нет никакого уникального представителя; но, вводя идею гармонических форм (Ходж еще называл их «интегралами»), которые являются решениями уравнения Лапласа , можно получить уникальные α . Это имеет важное, непосредственное последствие: распад
в подпространства
в соответствии с числом p голоморфных дифференциалов dz i, образующих α ( кокасательное пространство натянуто на dzi и их комплексно-сопряженные числа). Размерностями подпространств являются числа Ходжа .
Это разложение Ходжа стало фундаментальным инструментом. Размеры h p , q не только уточняют числа Бетти , разбивая их на части с идентифицируемым геометрическим смыслом; но само разложение, как меняющийся «флаг» в комплексном векторном пространстве, имеет значение в связи с проблемами модулей . В широком смысле теория Ходжа вносит вклад как в дискретную, так и в непрерывную классификацию алгебраических многообразий.
Дальнейшие разработки других привели, в частности, к идее смешанной структуры Ходжа на сингулярных многообразиях и к глубоким аналогиям с этальными когомологиями .
Гипотеза Ходжа о «средних» пространствах H p , p , вообще говоря, до сих пор не решена. Это одна из семи задач Премии тысячелетия , учрежденных Математическим институтом Клея .
Вместе с Дэниелом Педо Ходж также написал трехтомный труд « Методы алгебраической геометрии » по классической алгебраической геометрии с большим конкретным содержанием, иллюстрируя тем не менее то, что Эли Картан назвал «развратом индексов» в обозначениях его компонентов. По словам Атьи , это было предназначено для обновления и замены « Принципов геометрии Х. Ф. Бейкера » .
В 1929 году он женился на Кэтлин Энн Кэмерон. [12]