Абсолютная группа Галуа

Абсолютная группа Галуа действительных чисел является циклической группой порядка 2, порожденной комплексным сопряжением, поскольку C является отделимым замыканием R и [ C : R ] = 2.

В математике абсолютная группа Галуа G _K поля K — это группа Галуа поля K ^sep над K , где K ^sep — сепарабельное замыкание поля K . С другой стороны, это группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля K , которые фиксируют поле K . Абсолютная группа Галуа определена с точностью до внутреннего автоморфизма . Это проконечная группа .

(Когда K — совершенное поле , K ^sep совпадает с алгебраическим замыканием K ^alg поля K. Это справедливо, например, для K нулевой характеристики или K — конечного поля .)

Примеры

• Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
• Абсолютная группа Галуа действительных чисел является циклической группой из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), поскольку C является отделимым замыканием R и [ C : R ] = 2.
• Абсолютная группа Галуа конечного поля K изоморфна группе проконечных целых чисел

${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .}$^[1]

(Обозначения см. в разделе Обратный предел .)

Автоморфизм Фробениуса Fr является каноническим (топологическим) генератором G _K . (Напомним, что Fr( x ) = x ^q для всех x из K ^alg , где q — число элементов в K .)

• Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами свободна (как проконечная группа). Этот результат принадлежит Адриену Дуади и берет свое начало в теореме существования Римана . ^[2]
• В более общем случае, пусть C — алгебраически замкнутое поле, а x — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа K  =  C ( x ) свободна от ранга, равного мощности C . Этот результат принадлежит Дэвиду Харбатеру и Флориану Попу , а также был доказан позднее Дэном Хараном и Моше Джарденом с использованием алгебраических методов. ^{[3] [4] [5]}
• Пусть K — конечное расширение p-адических чисел Q p _. Для p  ≠ 2 его абсолютная группа Галуа порождается [ K : Q _p ] + 3 элементами и имеет явное описание с помощью образующих и соотношений. Это результат Уве Яннсена и Кей Вингберг. ^{[6] [7]} Некоторые результаты известны в случае p = 2, но структура для Q ₂ неизвестна. ^[8]
• Другой случай, в котором абсолютная группа Галуа была определена, — это наибольшее вполне действительное подполе поля алгебраических чисел. ^[9]

Проблемы

• Для абсолютной группы Галуа рациональных чисел не известно прямого описания . В этом случае из теоремы Белого следует , что абсолютная группа Галуа имеет точное действие на детских рисунках Гротендика (картах на поверхностях), что позволяет нам «увидеть» теорию Галуа алгебраических числовых полей.
• Пусть K — максимальное абелево расширение рациональных чисел. Тогда гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа K является свободной проконечной группой. ^[10]
• Интересной проблемой является разрешение гипотезы Яна Минача и Нгуена Зуй Тана об исчезновении - произведений Мэсси для . ^{[11] [12]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Некоторые общие результаты

• Каждая проконечная группа встречается как группа Галуа некоторого расширения Галуа, ^[13] однако не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа. Например, теорема Артина–Шрайера утверждает, что единственные конечные абсолютные группы Галуа являются либо тривиальными, либо имеют порядок 2, то есть только два класса изоморфизма.
• Каждая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля . Этот результат принадлежит Александру Любоцкому и Лу ван ден Дрису . ^[14]

Ссылки

1. Самуэли 2009, стр. 14.
2. Дуади 1964
3. Харбатер 1995
4. Поп 1995
5. Харан и Джарден 2000
6. Яннсен и Вингберг 1982
7. Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000, теорема 7.5.10
8. Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000, §VII.5
9. "qtr" (PDF) . Получено 2019-09-04 .
10. Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000, стр. 449.
11. Минач и Тан (2016), стр. 255,284.
12. Харпаз и Виттенберг (2023) стр.1,41
13. Фрид и Джарден (2008) стр.12
14. Фрид и Джарден (2008) стр.208,545

Источники

• Дуади, Адриен (1964), «Определение группы Галуа», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 258 : 5305–5308, MR  0162796
• Фрид, Майкл Д.; Жарден, Моше (2008), Полевая арифметика , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге, т. 3. 11 (3-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-77269-9, ЗБЛ  1145.12001
• Харан, Дэн; Жарден, Моше (2000), «Абсолютная группа Галуа C ( x )», Pacific Journal of Mathematics , 196 (2): 445–459, doi : 10.2140/pjm.2000.196.445 , MR  1800587
• Харбатер, Дэвид (1995), «Фундаментальные группы и проблемы вложения в характеристику p », Последние разработки в обратной задаче Галуа (Сиэтл, Вашингтон, 1993) , Contemporary Mathematics, т. 186, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. 353–369, MR  1352282
• Яннсен, Уве; Вингберг, Кей (1982), «Die Struktur der Absoluten Galoisgruppe p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -adischer Zahlkörper» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 70 : 71–78, Bibcode : 1982InMat..70.. .71J, номер документа : 10.1007/bf01393199, S2CID  119378923
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001
• Pop, Florian (1995), «Этальные покрытия Галуа аффинных гладких кривых. Геометрический случай гипотезы Шафаревича. О гипотезе Абхьянкара», Inventiones Mathematicae , 120 (3): 555–578, Bibcode : 1995InMat.120..555P, doi : 10.1007/bf01241142, MR  1334484, S2CID  128157587
• Минач, Ян; Тан, Нгуен Зуй (2016), «Тройные произведения Масси и теория Галуа», Журнал Европейского математического общества , 19 (1): 255–284
• Харпаз, Йонатан; Виттенберг, Оливье (2023), «Гипотеза Мэсси об исчезновении для числовых полей», Duke Mathematical Journal , 172 (1): 1–41
• Szamuely, Tamás (2009), Группы Галуа и фундаментальные группы , Кембриджские исследования по высшей математике, т. 117, Кембридж : Cambridge University Press