Гамильтонова система

Динамическая система, управляемая уравнениями Гамильтона

Гамильтонова система — это динамическая система, управляемая уравнениями Гамильтона . В физике эта динамическая система описывает эволюцию физической системы, такой как планетарная система или электрон в электромагнитном поле . Эти системы можно изучать как в гамильтоновой механике , так и в теории динамических систем .

Обзор

Неформально, гамильтонова система — это математический формализм, разработанный Гамильтоном для описания уравнений эволюции физической системы. Преимущество этого описания в том, что оно дает важные сведения о динамике, даже если задача начального значения не может быть решена аналитически. Одним из примеров является планетарное движение трех тел : хотя для общей задачи нет замкнутого решения , Пуанкаре впервые показал, что она демонстрирует детерминированный хаос .

Формально, гамильтонова система — это динамическая система, характеризуемая скалярной функцией , также известной как гамильтониан. ^[1] Состояние системы , описывается обобщенными координатами и , соответствующими обобщенному импульсу и положению соответственно. Оба и являются действительными векторами с одинаковой размерностью  N . Таким образом, состояние полностью описывается 2 N -мерным вектором ${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

а уравнения эволюции задаются уравнениями Гамильтона :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}}$

Траектория является решением начальной задачи, определяемой уравнениями Гамильтона и начальным условием . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}$

Независимые от времени гамильтоновы системы

Если гамильтониан явно не зависит от времени, т.е. если , то гамильтониан вообще не меняется со временем: ^[1] ${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

и, таким образом, гамильтониан является константой движения , константа которого равна полной энергии системы: . Примерами таких систем являются незатухающий маятник , гармонический осциллятор и динамические бильярды . ${\displaystyle H=E}$

Пример

Примером гамильтоновой системы, не зависящей от времени, является гармонический осциллятор. Рассмотрим систему, заданную координатами и . Тогда гамильтониан задается как ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=x}$

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.}$

Гамильтониан этой системы не зависит от времени, и, таким образом, энергия системы сохраняется.

Симплектическая структура

Одним из важных свойств гамильтоновой динамической системы является то, что она имеет симплектическую структуру . ^[1] Запись

${\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}}$

Уравнение эволюции динамической системы можно записать как

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})}$

где

${\displaystyle M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}}$

и I _N — единичная матрица размера N × N.

Одним из важных следствий этого свойства является сохранение бесконечно малого объема фазового пространства. ^[1] Следствием этого является теорема Лиувилля , которая утверждает, что в гамильтоновой системе объем фазового пространства замкнутой поверхности сохраняется при эволюции во времени. ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}}$

где третье равенство следует из теоремы о расходимости .

Гамильтонов хаос

Некоторые гамильтоновы системы демонстрируют хаотическое поведение . Когда эволюция гамильтоновой системы очень чувствительна к начальным условиям, а движение кажется случайным и беспорядочным, говорят, что система демонстрирует гамильтонов хаос.

Происхождение

Концепция хаоса в гамильтоновых системах берет свое начало в работах Анри Пуанкаре , который в конце 19 века внес пионерский вклад в понимание задачи трех тел в небесной механике . Пуанкаре показал, что даже простая гравитационная система из трех тел может демонстрировать сложное поведение, которое невозможно предсказать в долгосрочной перспективе. Его работа считается одним из самых ранних исследований хаотического поведения в физических системах . ^[2]

Характеристики

Гамильтонов хаос характеризуется следующими особенностями: ^[1]

Чувствительность к начальным условиям : отличительная черта хаотических систем, небольшие различия в начальных условиях могут привести к совершенно разным траекториям. Это известно как эффект бабочки. ^[3]

Смешивание : Со временем фазы системы становятся равномерно распределенными в фазовом пространстве. ^[4]

Рекуррентность : Хотя это и непредсказуемо, система в конечном итоге возвращается в состояния, произвольно близкие к ее начальному состоянию, что известно как рекуррентность Пуанкаре .

Гамильтонов хаос также связан с наличием хаотических инвариантов , таких как показатель Ляпунова и энтропия Колмогорова-Синая , которые количественно определяют скорость, с которой расходятся близкие траектории, и сложность системы соответственно. ^[1]

Приложения

Гамильтонов хаос распространен во многих областях физики, особенно в классической механике и статистической механике. Например, в физике плазмы поведение заряженных частиц в магнитном поле может демонстрировать гамильтонов хаос, который имеет последствия для ядерного синтеза и астрофизической плазмы . Более того, в квантовой механике гамильтонов хаос изучается через квантовый хаос , который стремится понять квантовые аналоги классического хаотического поведения. Гамильтонов хаос также играет роль в астрофизике , где он используется для изучения динамики звездных скоплений и устойчивости галактических структур. ^[5]

Примеры

• Динамичный бильярд
• Планетные системы , а точнее, проблема n тел .
• Каноническая общая теория относительности

Смотрите также

• Координаты действие-угол
• Теорема Лиувилля
• Интегрируемая система
• Симплектическое многообразие
• Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера

• Теорема о возвращении Пуанкаре
• показатель Ляпунова
• Задача трех тел
• Эргодическая теория

Ссылки

1. Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Cambridge University Press.
2. Пуанкаре, Анри. «Новые методы небесной механики». (1892)
3. Лоренц, Эдвард Н. (1963-03-01). «Детерминированный непериодический поток». Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 . ISSN  0022-4928.
4. Корнфельд, Исаак П.; Фомин, Сергей В.; Синай, Яков Г. (1982). Эргодическая теория . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Серия комплексных исследований по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer. ISBN 978-1-4615-6929-9.
5. Регев, Одед (2009), Мейерс, Роберт А. (ред.), «Астрофизика, хаос и сложность в», Энциклопедия сложности и системной науки , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, стр. 381–399, doi :10.1007/978-0-387-30440-3_26, ISBN 978-0-387-30440-3, получено 2023-06-25

Дальнейшее чтение

• Almeida, AM (1992). Гамильтоновы системы: Хаос и квантование . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж (ua: Cambridge Univ. Press )
• Один, М., (2008). Гамильтоновы системы и их интегрируемость . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4413-7 
• Дики, Л. А. (2003). Уравнения солитона и гамильтоновы системы . Расширенная серия по математической физике, т. 26. River Edge, NJ: World Scientific .
• Трещев, Д., и Зубелевич, О. (2010). Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем . Гейдельберг: Springer
• Заславский, ГМ (2007). Физика хаоса в гамильтоновых системах . Лондон: Imperial College Press .

Внешние ссылки

• Джеймс Мейсс (ред.). "Гамильтоновы системы". Scholarpedia .