Гармоническая прогрессия (математика)

Прогрессия, образованная путем взятия обратных величин арифметической прогрессии

Первые десять членов гармонической последовательности . ${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}}$

В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность ) — это прогрессия, образованная путем взятия обратных величин арифметической прогрессии , которая также известна как арифметическая последовательность.

Эквивалентно, последовательность представляет собой гармоническую прогрессию , где каждый член является гармоническим средним соседних членов.

В качестве третьей эквивалентной характеристики это бесконечная последовательность вида

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,}$

где a не равно нулю и − a / d не является натуральным числом или конечной последовательностью вида

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,\ {\frac {1}{a+kd}},}$

где a не равно нулю, k — натуральное число и − a / d не является натуральным числом или больше k .

Примеры

В следующем примере n — натуральное число в последовательности: ${\displaystyle \ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \ }$

• ${\displaystyle 1,{\tfrac {\ 1\ }{2}},\ {\tfrac {\ 1\ }{3}},\ {\tfrac {\ 1\ }{4}},\ {\tfrac {\ 1\ }{5}},\ {\tfrac {\ 1\ }{6}},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {\ 1\ }{n}},\ \ldots \ }$называется гармонической последовательностью
• 12, 6, 4, 3, ${\displaystyle \ {\tfrac {12}{\ 5\ }},\ 2,\ \ldots \ ,\ {\tfrac {12}{\ n\ }},\ \ldots \ }$
• 30, −30, −10, −6, ${\displaystyle \ -{\tfrac {30}{\ 7\ }},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {30}{\ \left(3\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \ }$
• 10, 30, −30, −10, −6, ${\displaystyle \ \ldots \ {\tfrac {30}{\ \left(5\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \ }$

Суммы гармонических прогрессий

Бесконечные гармонические прогрессии не суммируются (суммируются до бесконечности).

Невозможно, чтобы гармоническая прогрессия отдельных единичных дробей (кроме тривиального случая, когда a = 1 и k = 0) в сумме дала целое число . Причина в том, что обязательно, по крайней мере, один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число , которое не делит никакой другой знаменатель. ^[1]

Использование в геометрии

Если коллинеарные точки A, B, C и D таковы, что D является гармонически сопряженной точкой C относительно A и B, то расстояния от любой из этих точек до трех оставшихся точек образуют гармоническую прогрессию. ^{[2] [3]} В частности, каждая из последовательностей AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; и DA, DC, DB являются гармоническими прогрессиями, где каждое из расстояний подписано в соответствии с фиксированной ориентацией линии.

Если в треугольнике высоты находятся в арифметической прогрессии , то стороны находятся в гармонической прогрессии.

Падающая башня Лира

Прекрасным примером гармонической прогрессии является Падающая башня Лира . В ней однородные блоки укладываются друг на друга, чтобы достичь максимального бокового или поперечного расстояния. Блоки укладываются на 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, … расстояния вбок ниже исходного блока. Это гарантирует, что центр тяжести находится точно в центре конструкции, чтобы она не рухнула. Небольшое увеличение веса конструкции приводит к тому, что она становится неустойчивой и падает.

Смотрите также

• Геометрическая прогрессия
• Гармонический ряд
• Список сумм обратных величин
• Гармоники (в музыке)

Ссылки

1. Эрдеш, П. (1932), "Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása" [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака] (PDF) , Матем. Физ. Лапок (на венгерском языке), 39 : 17–24.. По словам Грэма, Рональда Л. (2013), «Пол Эрдеш и египетские фракции», столетие Эрдеша , Bolyai Soc. Математика. Студ., вып. 25, Янош Бояи Матем. Soc., Будапешт, стр. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , doi : 10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN.  978-3-642-39285-6, МР  3203600.
2. Главы о современной геометрии точки, линии и окружности, том II Ричарда Таунсенда (1865) стр. 24
3. Современная геометрия точки, прямой линии и окружности: элементарный трактат Джона Александра Третьего (1898) стр. 44

• «Освоение технической математики» Стэна Джибилиско, Нормана Х. Кроухерста, (2007) стр. 221
• Стандартные математические таблицы Chemical Rubber Company (1974) стр. 102
• Основы алгебры для средних школ Вебстера Уэллса (1897) стр. 307