Гармонические координаты

В римановой геометрии , разделе математики , гармонические координаты представляют собой определенный вид координатной карты на гладком многообразии , определяемой римановой метрикой на многообразии. Они полезны во многих задачах геометрического анализа благодаря своим свойствам регулярности.

В двух измерениях определенные гармонические координаты, известные как изотермические координаты , изучались с начала 1800-х годов. Гармонические координаты в более высоких измерениях были первоначально разработаны в контексте лоренцевой геометрии и общей теории относительности Альбертом Эйнштейном и Корнелиусом Ланцошем (см. условие гармонических координат ). ^[1] После работы Денниса ДеТурка и Джерри Каздана в 1981 году они начали играть значительную роль в литературе по геометрическому анализу , хотя Иджад Сабитов и С. З. Шефель сделали то же самое открытие пятью годами ранее. ^[2]

Определение

Пусть ( M , g ) — риманово многообразие размерности n . Говорят, что координатная карта ^{( x1} , ... , xn ) , определенная на открытом подмножестве U множества M , является гармоничной , если каждая отдельная координатная функция xi является гармонической функцией на ^{U. [3]} То есть требуется, чтобы

${\displaystyle \Delta ^{g}x^{i}=0.\,}$

где ∆ ^g — оператор Лапласа–Бельтрами . Тривиально, система координат является гармонической тогда и только тогда, когда, как отображение U → ℝ ⁿ , координаты являются гармоническим отображением . Прямое вычисление с локальным определением оператора Лапласа–Бельтрами показывает, что ( x ¹ , ..., x ⁿ ) является гармонической координатной картой тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}=0{\text{ for all }}k=1,\ldots ,n,}$

в котором Γ^к
_ijявляются символами Кристоффеля данной карты. ^[4] Относительно фиксированной «фоновой» карты координат ( V , y ) можно рассматривать ( x ¹ , ..., x ⁿ ) как набор функций x ∘ y ⁻¹ на открытом подмножестве евклидова пространства. Метрический тензор относительно x получается из метрического тензора относительно y локальным вычислением, имеющим дело с первыми производными x ∘ y ⁻¹ , и, следовательно, символы Кристоффеля относительно x вычисляются из вторых производных x ∘ y ⁻¹ . Таким образом, оба определения гармонических координат, как указано выше, имеют качественный характер, имея дело с частными дифференциальными уравнениями второго порядка для координатных функций.

Используя определение символов Кристоффеля, приведенная выше формула эквивалентна

${\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}.}$

Существование и базовая теория

Гармонические координаты всегда существуют (локально), результат, который легко следует из стандартных результатов о существовании и регулярности решений эллиптических уравнений в частных производных . ^[5] В частности, уравнение ∆ ^g u ^j = 0 имеет решение в некотором открытом множестве вокруг любой заданной точки p , так что u ( p ) и du _p оба заданы.

Основная теорема регулярности, касающаяся метрики в гармонических координатах, заключается в том, что если компоненты метрики находятся в пространстве Гельдера C ^{k , α} при выражении в некоторой координатной карте, независимо от гладкости самой карты, то функция перехода от этой координатной карты к любой гармонической координатной карте будет находиться в пространстве Гельдера C ^{k + 1, α} . ^[6] В частности, это означает, что метрика также будет находиться в C ^{k , α} относительно гармонических координатных карт. ^[7]

Как впервые обнаружил Корнелиус Ланцош в 1922 году, относительно гармонической координатной карты кривизна Риччи определяется выражением

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}g^{ab}{\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+\partial g\ast \partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.}$

Фундаментальный аспект этой формулы заключается в том, что для любых фиксированных i и j первый член в правой части является эллиптическим оператором, примененным к локально определенной функции g _ij . Таким образом, автоматически из эллиптической регулярности и, в частности, оценок Шаудера следует , что если g равно C ² и Ric(g) равно C ^{k , α} относительно гармонических координатных карт, то g равно C ^{k + 2, α} относительно той же карты. ^[8] В более общем смысле, если g равно C ^{k , α} (с k больше единицы) и Ric(g) равно C ^{l , α} относительно некоторых координатных карт, то функция перехода к гармонической координатной карте будет равна C ^{k + 1, α} , и поэтому Ric(g) будет равно C ^{min( l , k ), α} в гармонических координатных картах. Таким образом, согласно предыдущему результату, g будет C ^{min( l , k ) + 2, α} в гармонических координатных диаграммах. ^[9]

В качестве дальнейшего применения формулы Ланцоша следует, что метрика Эйнштейна является аналитической в ​​гармонических координатах. ^[10] В частности, это показывает, что любая метрика Эйнштейна на гладком многообразии автоматически определяет аналитическую структуру на многообразии, заданную набором гармонических координатных карт.

В связи с вышеприведенным анализом, при обсуждении гармонических координат стандартно рассматривать римановы метрики, которые являются по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемыми. Однако, с использованием более экзотических функциональных пространств , вышеприведенные результаты о существовании и регулярности гармонических координат могут быть распространены на настройки, где метрика имеет очень слабую регулярность. ^[11]

Гармонические координаты в асимптотически плоских пространствах

Гармонические координаты были использованы Робертом Бартником для понимания геометрических свойств асимптотически плоских римановых многообразий . ^[12] Предположим, что имеется полное риманово многообразие ( M , g ) и что существует компактное подмножество K из M вместе с диффеоморфизмом Φ из M ∖ K в ℝ ⁿ ∖ B _R (0) таким, что Φ ^* g относительно стандартной евклидовой метрики δ на ℝ ⁿ ∖ B _R (0) имеет собственные значения, которые равномерно ограничены сверху и снизу положительными числами, и такие, что (Φ ^* g )( x ) сходится, в некотором точном смысле, к δ , когда x расходится к бесконечности. Такой диффеоморфизм известен как структура на бесконечности или как асимптотически плоские координаты для ( M , g ) . ^[13]

Основной результат Бартника заключается в том, что набор асимптотически плоских координат (если он непустой) имеет простую асимптотическую структуру, в которой функция перехода между любыми двумя асимптотически плоскими координатами аппроксимируется, вблизи бесконечности, аффинным преобразованием . ^[14] Это важно для установления того, что энергия ADM асимптотически плоского риманова многообразия является геометрическим инвариантом, который не зависит от выбора асимптотически плоских координат. ^[15]

Ключевым инструментом в установлении этого факта является аппроксимация произвольных асимптотически плоских координат для ( M , g ) асимптотически плоскими координатами, которые являются гармоническими. Ключевая техническая работа заключается в установлении теории Фредгольма для оператора Лапласа-Бельтрами, когда он действует между определенными банаховыми пространствами функций на M, которые затухают на бесконечности. ^[16] Затем, учитывая любые асимптотически плоские координаты Φ , из того факта, что

${\displaystyle \Delta ^{g}\Phi ^{k}=-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k},}$

которая затухает на бесконечности, из теории Фредгольма следует, что существуют функции z ^k , которые затухают на бесконечности, такие, что Δ ^g Φ ^k = Δ ^g z ^k , и, следовательно, Φ ^k − z ^k являются гармоническими. Это обеспечивает желаемые асимптотически плоские гармонические координаты. Основной результат Бартника затем следует из того факта, что векторное пространство асимптотически затухающих гармонических функций на M имеет размерность n + 1 , что приводит к тому, что любые две асимптотически плоские гармонические координаты на M связаны аффинным преобразованием. ^[17]

Работа Бартника основана на существовании асимптотически плоских координат. Основываясь на его методах, Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима показали, что затухание кривизны в терминах расстояния от точки, вместе с полиномиальным ростом объема больших геодезических шаров и простой связностью их дополнений, подразумевает существование асимптотически плоских координат. ^[18] Существенным моментом является то, что их геометрические предположения, посредством некоторых из обсуждаемых ниже результатов о гармоническом радиусе, дают хороший контроль над гармоническими координатами в областях, близких к бесконечности. Используя разбиение единицы , эти гармонические координаты могут быть склеены вместе, чтобы сформировать единую координатную карту, что и является главной целью. ^[19]

Радиус гармоники

Основополагающий результат, полученный Майклом Андерсоном , состоит в том, что для гладкого риманова многообразия, любого положительного числа α между 0 и 1 и любого положительного числа Q существует число r , которое зависит от α , от Q , от верхней и нижней границ кривизны Риччи, от размерности и от положительной нижней границы радиуса инъективности, такое, что любой геодезический шар радиуса меньше r является областью гармонических координат, относительно которой размер C ^{1, α} g и равномерная близость g к евклидовой метрике контролируются Q . ^[20] Это также можно переформулировать в терминах «норм» точечных римановых многообразий, где C ^{1, α} -норма в масштабе r соответствует оптимальному значению Q для гармонических координат, области которых являются геодезическими шарами радиуса r . ^[21] Различные авторы нашли версии таких оценок «гармонического радиуса» как до, так и после работы Андерсона. ^[22] Существенным аспектом доказательства является анализ с помощью стандартных методов эллиптических уравнений в частных производных для формулы Ланцоша для кривизны Риччи в гармонической координатной карте. ^[23]

Итак, грубо говоря, использование гармонических координат показывает, что римановы многообразия могут быть покрыты координатными картами, в которых локальные представления римановой метрики контролируются только качественным геометрическим поведением самого риманова многообразия. Следуя идеям, высказанным Джеффом Чигером в 1970 году, можно затем рассмотреть последовательности римановых многообразий, которые геометрически контролируются равномерно, и, используя координаты, можно собрать «предельное» риманово многообразие. ^[24] Из-за природы такой «римановой сходимости» следует, например, что с точностью до диффеоморфизма существует только конечное число гладких многообразий заданной размерности, которые допускают римановы метрики с фиксированной границей кривизны Риччи и диаметра, с фиксированной положительной нижней границей радиуса инъективности. ^[25]

Такие оценки гармонического радиуса также используются для построения геометрически контролируемых функций обрезания, а следовательно, и разбиений единицы . Например, для управления второй ковариантной производной функции локально определенной второй частной производной необходимо управлять первой производной локального представления метрики. Такие конструкции являются фундаментальными при изучении основных аспектов пространств Соболева на некомпактных римановых многообразиях. ^[26]

Ссылки

Сноски

1. Эйнштейн 1916; Ланцош 1922.
2. ДеТурк и Каздан 1981; Сабитов и Шефель 1976.
3. Бесс 2008, с. 143; Хебей 1999, с. 13; Петерсен 2016, с. 409; Сакаи 1996, с. 313.
4. ДеТурк и Каздан 1981, Лемма 1.1.
5. Бесс 2008, с. 143; Петерсен 2016, Лемма 11.2.5.
6. ДеТурк и Каздан 1981, Лемма 1.2; Бесс 2008, Предложение 5.19.
7. ДеТурк и Каздан 1981, Теорема 2.1.
8. ДеТурк и Каздан 1981, Теорема 4.5 (б); Бесс 2008, Теорема 5.20b.
9. DeTurck & Kazdan 1981, Теорема 4.5 (c).
10. ДеТурк и Каздан 1981, Теорема 5.2; Бесс 2008, Теорема 5.26.
11. Тейлор 2000, разделы 3.9 и 3.10.
12. Бартник 1986.
13. Бартник 1986, Определение 2.1; Ли и Паркер 1987, с. 75-76.
14. Бартник 1986, следствие 3.22; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.5.
15. Бартник 1986, Теорема 4.2; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.6.
16. Бартник 1986, разделы 1 и 2; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.2.
17. Бартник 1986, с. 678; Ли и Паркер 1987, с. 78.
18. Бандо, Касуэ и Накадзима 1989, Теорема 1.1 и замечание 1.8 (2).
19. Бандо, Касуэ и Накадзима 1989, стр. 324–325.
20. Андерсон 1990, Лемма 2.2; Хебей 1999, Определение 1.1 и Теорема 1.2.
21. Петерсен 2016, разделы 11.3.1 и 11.3.4.
22. Hebey 1999, Теорема 1.2; Петерсен 2016, Теорема 11.4.15; Сакаи 1996, Теорема A6.10.
23. Андерсон 1990, стр. 434–435; Петерсен 2016, стр. 427, 429.
24. Андерсон 1990, Лемма 2.1; Петерсен 2016, Теорема 11.3.6 и Следствия 11.3.7 и 11.3.8; Сакаи 1996, стр. 313.
25. Андерсон 1990, Теорема 1.1; Петерсен 2016, Следствие 11.4.4; Сакаи 1996, Замечание A6.12.
26. Хебей 1999, Предложение 3.2, Предложение 3.3, Теорема 3.4, Теорема 3.5.

Учебники

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Том. 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. MR  0867684. Zbl  0613.53001.
• Hebey, Emmanuel (1999). Нелинейный анализ на многообразиях: пространства Соболева и неравенства . Courant Lecture Notes in Mathematics. Том 5. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/cln/005. ISBN 0-9658703-4-0. MR  1688256. Zbl  0981.58006.
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 171 (Третье издание 1998 г., оригинальное издание). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. MR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Сакаи, Такаши (1996). Риманова геометрия . Переводы математических монографий. Том 149. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi :10.1090/mmono/149. ISBN 0-8218-0284-4. MR  1390760. Zbl  0886.53002.
• Taylor, Michael E. (2000). Инструменты для PDE. Псевдодифференциальные операторы, парадифференциальные операторы и потенциалы слоев . Математические обзоры и монографии . Том 81. Providence, RI: Американское математическое общество . doi : 10.1090/surv/081. ISBN 0-8218-2633-6. MR  1766415. Zbl  0963.35211.

Статьи

• Андерсон, Майкл Т. (1990). «Сходимость и жесткость многообразий при ограничениях кривизны Риччи». Inventiones Mathematicae . 102 (2): 429–445. Bibcode : 1990InMat.102..429A. doi : 10.1007/bf01233434. MR  1074481. S2CID  121062092. Zbl  0711.53038.
• Бандо, Сигетоси; Касуэ, Ацуси; Накадзима, Хираку (1989). «О построении координат на бесконечности на многообразиях с быстрым затуханием кривизны и максимальным ростом объема». Inventiones Mathematicae . 97 (2): 313–349. Bibcode :1989InMat..97..313B. doi :10.1007/BF01389045. MR  1001844. S2CID  122863673. Zbl  0682.53045.
• Бартник, Роберт (1986). «Масса асимптотически плоского многообразия». Сообщения по чистой и прикладной математике . 39 (5): 661–693. CiteSeerX  10.1.1.625.6978 . doi :10.1002/cpa.3160390505. ISSN  0010-3640. MR  0849427. Zbl  0598.53045.
  — (2021). «Масса асимптотически плоского многообразия». В Chruściel, Piotr T.; Isenberg, James A .; Yau, Shing-Tung (ред.). Избранные труды Роберта А. Бартника . Somerville, MA: International Press. стр. 661–693. ISBN 978-1-57146-397-5. MR  4362675. Zbl  1464.53042.
• ДеТурк, Деннис М .; Каздан, Джерри Л. (1981). «Некоторые теоремы регулярности римановой геометрии». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Четвертая серия. 14 (3): 249–260. дои : 10.24033/asens.1405 . МР  0644518. Збл  0486.53014.
• Эйнштейн, А. (1916). «Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation» (PDF) . Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften : 688–696. дои : 10.1002/3527608958.ch7. ISBN 9783527406098. JFM  46.1293.02.
  — (1997). «Приближенное интегрирование уравнений поля гравитации». Собрание трудов Альберта Эйнштейна. Том 6. Берлинские годы: сочинения, 1914–1917 . Перевод Энгеля, Альфреда. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . С. 201–210. ISBN 0-691-01734-4. MR  1492181. Zbl  0979.01031.
• Ланчош, Корнель (1922). «Ein vereinfachendes Koordinatensystem für Einsteinschen Gravitationsgleichungen». Physikalische Zeitschrift . 23 : 537–539. ЖФМ  48.1023.01.
• Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. (1987). «Проблема Ямабэ». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 17 (1): 37–91. doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5 . MR  0888880. Zbl  0633.53062.
• Сабитов, И. Х.; Шефель, С. З. (1976). «Связь между порядком гладкости поверхности и порядком ее метрики». Сибирский математический журнал . 17 (4): 916–925. doi :10.1007/bf00971679. MR  0425855. S2CID  120917151. Zbl  0386.53014.