Гармонический баланс

Гармонический баланс — это метод, используемый для расчета установившегося отклика нелинейных дифференциальных уравнений , ^[1] и в основном применяется к нелинейным электрическим цепям . ^{[2] [3] [4]} Это метод частотной области для расчета установившегося состояния, в отличие от различных методов установившегося состояния во временной области . Название «гармонический баланс» является описательным для метода, который начинается с закона тока Кирхгофа, записанного в частотной области, и выбранного числа гармоник. Синусоидальный сигнал, применяемый к нелинейному компоненту в системе, будет генерировать гармоники основной частоты. Фактически метод предполагает, что линейная комбинация синусоид может представлять решение, затем уравновешивает синусоиды тока и напряжения для удовлетворения закона Кирхгофа. Метод обычно используется для моделирования цепей, которые включают нелинейные элементы, ^[5] и наиболее применим к системам с обратной связью, в которых возникают предельные циклы .

Микроволновые схемы были первоначальным применением методов гармонического баланса в электротехнике. Микроволновые схемы хорошо подходили, поскольку исторически микроволновые схемы состояли из множества линейных компонентов, которые можно было напрямую представить в частотной области, а также нескольких нелинейных компонентов. Размеры систем обычно были небольшими. Для более общих схем метод считался непрактичным для всех, кроме этих очень маленьких схем, до середины 1990-х годов, когда к проблеме были применены методы подпространства Крылова . ^{[6] [7]} Применение методов подпространства Крылова с предварительной обработкой позволило решать гораздо более крупные системы, как по размеру схемы, так и по количеству гармоник. Это сделало практичным современное использование методов гармонического баланса для анализа радиочастотных интегральных схем (RFIC).

Пример

^[8]

Рассмотрим дифференциальное уравнение . Используем анзац- решение и, подставляя, получаем ${\displaystyle {\ddot {x}}+x^{3}=0}$ ${\displaystyle x=A\cos(\omega t)}$ $${\displaystyle -A\omega ^{2}\cos(\omega t)+A^{3}{\frac {1}{4}}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t))=0.}$$

Тогда, сопоставляя члены, мы имеем , что дает приблизительный период . ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A}$ ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}\approx {\frac {7.2552}{A}}}$

Для более точного приближения мы используем решение ansatz . Подставляя их и сопоставляя , члены, получаем после рутинной алгебры: ${\displaystyle x=A_{1}\cos(\omega t)+A_{3}\cos(3\omega t)}$ ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ ${\displaystyle \cos(3\omega t)}$ $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A_{1}{\sqrt {1+y+2y^{2}}},\quad y=A_{3}/A_{1},\quad 51y^{3}+27y^{2}+21y-1=0.}$$

Кубическое уравнение для имеет только один действительный корень . При этом мы получаем приближенный период Таким образом, мы приближаемся к точному решению . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\approx 0.0448}$ $${\displaystyle T={\frac {2\pi (1+y)}{{\sqrt {\frac {3}{4}}}A{\sqrt {1+y+2y^{2}}}}}\approx {\frac {7.402}{A}}}$$ ${\displaystyle T=7.4163\cdots /A}$

Алгоритм

Алгоритм гармонического баланса является специальной версией метода Галеркина . Он используется для вычисления периодических решений автономных и неавтономных дифференциально-алгебраических систем уравнений . Обработка неавтономных систем немного проще, чем обработка автономных. Неавтономная система ДАУ имеет представление

${\displaystyle 0=F(t,x,{\dot {x}})}$

с достаточно гладкой функцией, где — число уравнений, а — заполнители для времени, вектора неизвестных и вектора производных по времени. ${\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t,x,{\dot {x}}}$

Система неавтономна, если функция не является постоянной для (некоторых) фиксированных и . Тем не менее, мы требуем, чтобы существовал известный период возбуждения, такой что является -периодическим. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle T}$

Естественным кандидатом на -периодические решения уравнений системы является пространство Соболева слабо дифференцируемых функций на интервале с периодическими граничными условиями . Мы предполагаем, что гладкость и структура гарантируют, что является квадратично интегрируемым для всех . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle x(0)=x(T)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(t,x(t),{\dot {x}}(t))}$ ${\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$

Система гармонических функций является базисом Шаудера и образует базис Гильберта пространства квадратично -интегрируемых функций. Поэтому каждый кандидат на решение может быть представлен рядом Фурье с коэффициентами Фурье , а уравнение системы удовлетворяется в слабом смысле, если для каждой базовой функции вариационное уравнение ${\displaystyle B:=\left\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle \psi _{k}:=\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$ ${\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle H:=L^{2}([0,T],\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{k}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi _{k}^{*}(t)\cdot x(t)dt}$ ${\displaystyle \psi \in B}$

${\displaystyle 0=\langle \psi ,F(t,x,{\dot {x}})\rangle _{H}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi ^{*}(t)\cdot F(t,x,{\dot {x}})dt}$

выполняется. Это вариационное уравнение представляет собой бесконечную последовательность скалярных уравнений, поскольку его необходимо проверить для бесконечного числа базовых функций в . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$

Подход Галеркина к гармоническому балансу заключается в проецировании набора кандидатов, а также тестового пространства для вариационного уравнения на конечномерное подпространство, охватываемое конечной базой . ${\displaystyle B_{N}:=\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} {\text{ with }}-N\leq k\leq N\}}$

Это дает конечномерное решение и конечный набор уравнений ${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\psi _{k}(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$

${\displaystyle 0=\langle \psi _{k},F(t,x,{\dot {x}})\rangle \quad {\text{ with }}k=-N,\ldots ,N}$

которую можно решить численно.

В специальном контексте электроники алгоритм начинается с закона тока Кирхгофа, записанного в частотной области . Для повышения эффективности процедуры схема может быть разделена на линейную и нелинейную части, поскольку линейная часть легко описывается и рассчитывается с использованием узлового анализа непосредственно в частотной области.

Сначала делается начальное предположение о решении, затем итерационный процесс продолжается:

1. Напряжения используются для расчета токов линейной части в частотной области. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I_{\text{linear}}}$
2. Затем напряжения используются для расчета токов в нелинейной части, . Поскольку нелинейные устройства описываются во временной области, напряжения в частотной области преобразуются во временную область, как правило, с использованием обратных быстрых преобразований Фурье. Затем нелинейные устройства оцениваются с использованием форм сигналов напряжения во временной области для получения их токов во временной области. Затем токи преобразуются обратно в частотную область. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I_{\text{nonlinear}}}$ ${\displaystyle V}$
3. Согласно законам цепи Кирхгофа , сумма токов должна быть равна нулю, . Итерационный процесс, обычно итерация Ньютона , используется для обновления напряжений сети таким образом, чтобы остаток тока был уменьшен. Этот шаг требует формулировки якобиана . ${\displaystyle \epsilon =I_{\text{linear}}+I_{\text{nonlinear}}=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\tfrac {d\epsilon }{dV}}}$

Сходимость достигается, когда значение достаточно мало, и в этот момент известны все напряжения и токи стационарного решения, чаще всего представленные в виде коэффициентов Фурье. ${\displaystyle \epsilon }$

Ссылки

1. Deuflhard, Peter (2006). Методы Ньютона для нелинейных задач . Berlin: Springer-Verlag. Раздел 7.3.3.: Метод коллокации Фурье.
2. Гилмор, Р. Дж.; Стир, М. Б. (1991). «Анализ нелинейных цепей с использованием метода гармонического баланса — Обзор искусства. Часть I. Вводные концепции». Int. J. Microw. Mill.-Wave Comput.-Aided Eng . 1 : 22–37. doi :10.1002/mmce.4570010104.
3. Curtice, WR, Ettenberg, M. (4–6 июня 1985 г.). «Нелинейная модель GaAs FET для использования в проектировании выходных цепей усилителей мощности». MTT-S International Microwave Symposium Digest . Том 85. Сент-Луис, шт. Миссури, США. стр. 405–408. doi :10.1109/MWSYM.1985.1131996. S2CID  111044329.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Nakhla, Michel S.; Vlach, Jiri (февраль 1976). "Метод кусочно-гармонического баланса для определения периодического отклика нелинейных систем". IEEE Transactions on Circuits and Systems . CAS-23 (2): 85–91. doi :10.1109/TCS.1976.1084181. ISSN  0098-4094.
5. Маас, Стивен А. (2003). Нелинейные СВЧ и ВЧ цепи . Artech House. ISBN 978-1-58053-484-0.
6. Фельдманн, П.; Мелвилл, Б.; Лонг, Д. (1996). "Эффективный анализ в частотной области больших нелинейных аналоговых схем". Труды конференции Custom Integrated Circuits . стр. 461–464. doi :10.1109/CICC.1996.510597. ISBN 978-0-7803-3117-4. S2CID  62356450.
7. Брахтендорф, Х. Г.; Вельш, Г.; Лор, Р. (1995). "Быстрое моделирование стационарного состояния цепей с помощью метода гармонического баланса". Труды ISCAS'95 - Международный симпозиум по цепям и системам . Том 2. С. 1388–1391. doi :10.1109/ISCAS.1995.520406. ISBN 978-0-7803-2570-8. S2CID  3718242.
8. Микенс, Рональд (1984). «Комментарии к методу гармонического баланса». Журнал звука и вибрации . 94 (3): 456–460. Bibcode : 1984JSV....94..456M. doi : 10.1016/S0022-460X(84)80025-5.