Гармонический полином

Полином, лапласиан которого равен нулю

В математике многочлен , лапласиан которого равен нулю, называется гармоническим многочленом . ^{[1] [2]} ${\displaystyle p}$

Гармонические многочлены образуют подпространство векторного пространства многочленов над заданным полем . Фактически, они образуют градуированное подпространство . ^[3] Для вещественного поля ( ) гармонические многочлены важны в математической физике. ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Лапласиан представляет собой сумму частных производных второго порядка по каждой из переменных и является инвариантным дифференциальным оператором относительно действия ортогональной группы через группу вращений.

Стандартная теорема о разделении переменных ^{[ требуется ссылка ]} утверждает, что любой многомерный многочлен над полем может быть разложен в конечную сумму произведений радиального многочлена и гармонического многочлена. Это эквивалентно утверждению, что кольцо многочленов является свободным модулем над кольцом радиальных многочленов. ^[7]

Примеры

Рассмотрим степень- одномерный многочлен . Чтобы быть гармоничным, этот многочлен должен удовлетворять ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p(x):=\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}}$

Действительные гармонические многочлены от двух переменных до степени 6, изображенные на единичном круге.

$${\displaystyle 0={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x)=\sum _{k=2}^{d}k(k-1)a_{k}x^{k-2}}$$во всех точках . В частности, когда , мы имеем многочлен , который должен удовлетворять условию . Следовательно, единственными гармоническими многочленами одной (действительной) переменной являются аффинные функции . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}}$ ${\displaystyle a_{2}=0}$ ${\displaystyle x\mapsto a_{0}+a_{1}x}$

В случае нескольких переменных можно найти нетривиальные пространства гармонических многочленов. Рассмотрим, например, двумерный квадратичный многочлен , где — действительные коэффициенты. Лапласиан этого многочлена определяется как $${\displaystyle p(x,y):=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{1,1}xy+a_{2,0}x^{2}+a_{0,2}y^{2},}$$ ${\displaystyle a_{0,0},a_{1,0},a_{0,1},a_{1,1},a_{2,0},a_{0,2}}$ $${\displaystyle \Delta p(x,y)={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,y)+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}p(x,y)=2(a_{2,0}+a_{0,2}).}$$

Следовательно, для того, чтобы быть гармоничным, его коэффициенты должны удовлетворять только соотношению . Эквивалентно, все (действительные) квадратичные двумерные гармонические многочлены являются линейными комбинациями многочленов ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle a_{2,0}=-a_{0,2}}$ $${\displaystyle 1,\quad x,\quad y,\quad xy,\quad x^{2}-y^{2}.}$$

Обратите внимание, что, как и в любом векторном пространстве, существуют и другие варианты базиса для этого же пространства полиномов.

Базис для действительных двумерных гармонических полиномов до степени 6 задается следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{0}(x,y)&=1\\\phi _{1,1}(x,y)&=x&\phi _{1,2}(x,y)&=y\\\phi _{2,1}(x,y)&=xy&\phi _{2,2}(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\\phi _{3,1}(x,y)&=y^{3}-3x^{2}y&\phi _{3,2}(x,y)&=x^{3}-3xy^{2}\\\phi _{4,1}(x,y)&=x^{3}y-xy^{3}&\phi _{4,2}(x,y)&=-x^{4}+6x^{2}y^{2}-y^{4}\\\phi _{5,1}(x,y)&=5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}&\phi _{5,2}(x,y)&=x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\\\phi _{6,1}(x,y)&=3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}&\phi _{6,2}(x,y)&=-x^{6}+15x^{4}y^{2}-15x^{2}y^{4}+y^{6}\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Математический портал

• Гармоническая функция
• Сферические гармоники
• Зональные сферические гармоники
• Многолинейный полином

Ссылки

1. Уолш, Дж. Л. (1927). «О разложении гармонических функций в терминах гармонических многочленов». Труды Национальной академии наук . 13 (4): 175–180. Bibcode :1927PNAS...13..175W. doi : 10.1073/pnas.13.4.175 . PMC  1084921 . PMID  16577046.
2. Хельгасон, Сигурдур (2003). "Глава III. Инварианты и гармонические многочлены". Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции . Математические обзоры и монографии, т. 83. Американское математическое общество. стр. 345–384. ISBN 9780821826737.
3. Фелдер, Джованни; Веселов, Александр П. (2001). «Действие групп Кокстера на m-гармонические многочлены и уравнения КЗ». arXiv : math/0108012 .
4. Соболев, Сергей Львович (2016). Уравнения с частными производными математической физики. Международная серия монографий по чистой и прикладной математике. Elsevier. С. 401–408. ISBN 9781483181363.
5. Уиттекер, Эдмунд Т. (1903). «О частных дифференциальных уравнениях математической физики». Mathematische Annalen . 57 (3): 333–355. doi :10.1007/bf01444290. S2CID  122153032.
6. Байерли, Уильям Элвуд (1893). «Глава VI. Сферические гармоники». Элементарный трактат о рядах Фурье, сферических, цилиндрических и эллипсоидальных гармониках с приложениями к задачам математической физики . Довер. С. 195–218.
7. См. Следствие 1.8 из Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Гармонические многочлены и задачи типа Дирихле.

• Представления групп Ли колец многочленов Бертрама Костанта, опубликовано в Американском журнале математики, том 85, № 3 (июль 1963 г.), doi : 10.2307/2373130