Гармонический треугольник Лейбница

Гармонический треугольник Лейбница — это треугольное расположение единичных дробей , в котором самые внешние диагонали состоят из обратных чисел номеров строк, а каждая внутренняя ячейка — это ячейка по диагонали выше и левее минус ячейка слева. Если выразить это алгебраически , L ( r , 1) = 1/ r (где r — номер строки, начиная с 1, а c — номер столбца, никогда не больше r ) и L ( r , c ) = L ( r − 1, c − 1) − L ( r , c − 1).

Ценности

Первые восемь строк:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}$

Знаменатели перечислены в (последовательность A003506 в OEIS ), а числители — все единицы.

Условия

Условия даны по рекуррентным соотношениям

${\displaystyle a_{n,1}={\frac {1}{n}},}$

${\displaystyle a_{n,k}={\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}},}$

и явно

${\displaystyle a_{n,k}={\frac {1}{{\binom {n}{k}}k}}}$

где — биномиальный коэффициент . ^[1] ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$

Связь с треугольником Паскаля

В то время как каждая запись в треугольнике Паскаля является суммой двух записей в строке выше, каждая запись в треугольнике Лейбница является суммой двух записей в строке ниже . Например, в 5-й строке запись (1/30) является суммой двух (1/60) в 6-й строке.

Так же, как треугольник Паскаля может быть вычислен с использованием биномиальных коэффициентов, так же можно вычислить и треугольник Лейбница: . Более того, элементы этого треугольника могут быть вычислены из Паскаля : «Члены в каждой строке являются исходным членом, деленным на соответствующие элементы треугольника Паскаля». ^[2] Фактически, каждая диагональ связана с соответствующими диагоналями треугольника Паскаля: первая диагональ Лейбница состоит из 1/(1x натуральных чисел ), вторая из 1/(2x треугольных чисел ), третья из 1/(3x тетраэдрических чисел ) и так далее. ${\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}}$

Более того, каждый элемент в гармоническом треугольнике равен обратной величине соответствующего элемента в треугольнике Паскаля, умноженной на обратную величину соответствующей строки, где — элемент в гармоническом треугольнике, а — соответствующий элемент в треугольнике Паскаля. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h_{(r,c)}={\frac {1}{p_{(r,c)}}}\times {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle h_{(r,c)}}$ ${\displaystyle p_{(r,c)}}$

Бесконечный ряд

Бесконечная сумма всех членов в любой диагонали равна первому члену в предыдущей диагонали, это происходит потому, что повторение можно использовать для телескопирования ряда, где . ${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }L(r,c)=L(c-1,c-1)}$ ${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }L(r,c)=\sum _{r=c}^{\infty }L(r-1,c-1)-L(r,c-1)=L(c-1,c-1)-{\cancelto {0}{L(\infty ,c-1)}}:}$ ${\displaystyle L(\infty ,c-1)=\lim _{r\to \infty }L(r,c-1)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-2}}}=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&{\color {red}1}&&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\color {blue}{\frac {1}{2}}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{3}}&&{\color {blue}{\frac {1}{6}}}&&{\frac {1}{3}}&&&\\&&&{\frac {1}{4}}&&{\color {blue}{\frac {1}{12}}}&&{\frac {1}{12}}&&{\color {red}{\frac {1}{4}}}&&\\&&{\frac {1}{5}}&&{\color {blue}{\frac {1}{20}}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\color {blue}{\frac {1}{5}}}&\\&{\frac {1}{6}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{6}}\\&&&&\vdots &&&&\vdots &&&\\\end{array}}}$

Например,

${\displaystyle {\color {blue}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...={\color {red}1}}$

${\displaystyle {\color {blue}{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{105}}+...}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}-{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{60}}-{\frac {1}{140}}+...={\color {red}{\frac {1}{4}}}}$

Заменив формулу на коэффициенты, мы получаем бесконечный ряд , первый пример, приведенный здесь, первоначально появился в работе Лейбница около 1694 года ^[3] ${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}={\frac {1}{c-1}}}$

Характеристики

Если взять знаменатели n -й строки и сложить их, то результат будет равен . Например, для 3-й строки имеем 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2 ² . ${\displaystyle n2^{n-1}}$

У нас есть ${\displaystyle L(r,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx.}$

Смотрите также

• Правило Паскаля
• Идентичность хоккейной клюшки

Ссылки

1. W., Weisstein, Eric. "Гармонический треугольник Лейбница". mathworld.wolfram.com . Получено 10 апреля 2018 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Уэллс, Дэвид (1986). Словарь любопытных и интересных чисел издательства Penguin , стр. 98. ISBN 978-0-14-026149-3 . 
3. Эстев, Масса; Роза, Мария (22 июня 2018 г.). «Гармонический треугольник в творчестве Менголи и Лейбница». Quaderns d'istòria de l'enginyeria . XVI : 233–258. ISSN  1135-934Х.