Группа Гейзенберга

Group in group theory and physics

В математике группа Гейзенберга , названная в честь Вернера Гейзенберга , представляет собой группу 3×3 верхних треугольных матриц вида ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

под действием операции умножения матриц . Элементы a, b и c могут быть взяты из любого коммутативного кольца с единицей, часто принимаемого за кольцо действительных чисел (что приводит к «непрерывной группе Гейзенберга») или за кольцо целых чисел (что приводит к «дискретной группе Гейзенберга»).

Непрерывная группа Гейзенберга возникает при описании одномерных квантово-механических систем, особенно в контексте теоремы Стоуна–фон Неймана . В более общем смысле можно рассматривать группы Гейзенберга, связанные с n -мерными системами, и, в самом общем смысле, с любым симплектическим векторным пространством .

Трехмерный корпус

В трехмерном случае произведение двух матриц Гейзенберга определяется выражением

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Как видно из термина ab ′ , группа неабелева .

Нейтральным элементом группы Гейзенберга является единичная матрица , а обратные ей элементы задаются формулой

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Группа является подгруппой двумерной аффинной группы Aff(2): действие на соответствует аффинному преобразованию ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}.}$

Существует несколько ярких примеров трехмерного случая.

Непрерывная группа Гейзенберга

Если a , b , c — действительные числа (в кольце R ), то имеем непрерывную группу Гейзенберга H ₃ ( R ).

Это нильпотентная действительная группа Ли размерности 3.

В дополнение к представлению в виде действительных матриц 3×3 непрерывная группа Гейзенберга также имеет несколько различных представлений в терминах функциональных пространств . По теореме Стоуна–фон Неймана существует, с точностью до изоморфизма, единственное неприводимое унитарное представление H, в котором ее центр действует заданным нетривиальным характером . Это представление имеет несколько важных реализаций, или моделей. В модели Шредингера группа Гейзенберга действует на пространстве квадратично интегрируемых функций. В тета-представлении она действует на пространстве голоморфных функций на верхней полуплоскости ; оно так названо из-за своей связи с тета-функциями .

Дискретная группа Гейзенберга

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга с генераторами x , y , z, как в тексте (раскраска приведена только для наглядности)

Если a , b , c — целые числа (в кольце Z ), то имеем дискретную группу Гейзенберга H ₃ ( Z ). Это неабелева нильпотентная группа . Она имеет два генератора:

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

и отношения

${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1},\quad xz=zx,\quad yz=zy,}$

где

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

является генератором центра H 3 _. (Обратите внимание, что обратные x , y и z заменяют 1 над диагональю на −1.)

По теореме Басса он имеет полиномиальную скорость роста четвертого порядка.

Можно создать любой элемент через

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}.}$

Группа Гейзенберга по модулю нечетного простого числап

Если взять a , b , c в Z / p Z для нечетного простого числа p , то получим группу Гейзенберга по модулю p . Это группа порядка p ³ с генераторами x , y и соотношениями

${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1},\quad x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\quad xz=zx,\quad yz=zy.}$

Аналоги групп Гейзенберга над конечными полями нечетного простого порядка p называются дополнительными специальными группами или, более правильно, дополнительными специальными группами экспоненты p . В более общем случае, если производная подгруппа группы G содержится в центре Z группы G , то отображение G / Z × G / Z → Z является кососимметричным билинейным оператором на абелевых группах.

Однако требование, чтобы G / Z было конечным векторным пространством, требует, чтобы подгруппа Фраттини G содержалась в центре, а требование, чтобы Z было одномерным векторным пространством над Z / p Z, требует, чтобы Z имело порядок p , поэтому если G не абелева, то G является экстраспециальным. Если G является экстраспециальным, но не имеет показателя p , то общая конструкция ниже, примененная к симплектическому векторному пространству G / Z, не дает группу, изоморфную G .

Группа Гейзенберга по модулю 2

Группа Гейзенберга по модулю 2 имеет порядок 8 и изоморфна диэдральной группе D ₄ (симметрии квадрата). Заметим, что если

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}},}$

затем

${\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Элементы x и y соответствуют отражениям (с 45° между ними), тогда как xy и yx соответствуют поворотам на 90°. Другие отражения — это xyx и yxy , а поворот на 180° — это xyxy (=  yxyx ).

алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли группы Гейзенберга (над действительными числами) известна как алгебра Гейзенберга. ^[1] Она может быть представлена ​​с использованием пространства матриц 3×3 вида ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

с . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

Следующие три элемента составляют основу : ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Эти базисные элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0.}$

Название «группа Гейзенберга» мотивировано предыдущими соотношениями, которые имеют ту же форму, что и канонические коммутационные соотношения в квантовой механике:

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar I,\quad [{\hat {x}},i\hbar I]=0,\quad [{\hat {p}},i\hbar I]=0,}$

где — оператор положения, — оператор импульса, — постоянная Планка. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle \hbar }$

Группа Гейзенберга H обладает особым свойством, заключающимся в том, что экспоненциальное отображение является отображением «один к одному» и «на» из алгебры Ли в группу H : ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

В конформной теории поля

В конформной теории поля термин алгебра Гейзенберга используется для обозначения бесконечномерного обобщения вышеуказанной алгебры. Она охватывается элементами с коммутационными соотношениями ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.}$

При масштабировании это просто счетно-бесконечное число копий вышеуказанной алгебры.

Более высокие измерения

Более общие группы Гейзенберга могут быть определены для более высоких измерений в евклидовом пространстве и, в более общем случае, на симплектических векторных пространствах . Простейшим общим случаем является действительная группа Гейзенберга размерности для любого целого числа . Как группа матриц (или для указания того, что это группа Гейзенберга над полем действительных чисел) определяется как группа матриц с элементами в и имеющая вид ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}},}$

где

a — вектор-строка длины n ,

b — вектор-столбец длины n ,

I _n — единичная матрица размера n .

Структура группы

Это действительно группа, как показывает умножение:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

алгебра Ли

Группа Гейзенберга — односвязная группа Ли, алгебра Ли которой состоит из матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

где

a — вектор-строка длины n ,

b — вектор-столбец длины n ,

0 _n — нулевая матрица размера n .

Позволяя e ₁ , ..., e _n быть каноническим базисом R ⁿ и устанавливая

${\displaystyle p_{i}={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\quad q_{j}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},\quad z={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},}$

ассоциированная алгебра Ли может быть охарактеризована каноническими коммутационными соотношениями

где p ₁ , ...,  p _n , q ₁ , ...,  q _n , z — генераторы алгебры.

В частности, z является центральным элементом алгебры Ли Гейзенберга. Отметим, что алгебра Ли группы Гейзенберга нильпотентна.

Экспоненциальная карта

Позволять

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

что соответствует . Экспоненциальное отображение оценивается как ${\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}$

${\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Экспоненциальное отображение любой нильпотентной алгебры Ли является диффеоморфизмом между алгеброй Ли и единственной ассоциированной связной односвязной группой Ли .

Это обсуждение (помимо утверждений, относящихся к размерности и группе Ли) применимо и в дальнейшем, если мы заменим R любым коммутативным кольцом A. Соответствующая группа обозначается H _n ( A ).

При дополнительном предположении, что простое число 2 обратимо в кольце A , экспоненциальное отображение также определено, поскольку оно сводится к конечной сумме и имеет указанный выше вид (например, A может быть кольцом Z / p  Z с нечетным простым числом p или любым полем характеристики  0).

Теория представления

Унитарная теория представлений группы Гейзенберга довольно проста (позднее обобщенная теорией Макки  ), что и послужило мотивацией для ее введения в квантовую физику, как обсуждается ниже.

Для каждого ненулевого действительного числа можно определить неприводимое унитарное представление действия на гильбертовом пространстве по формуле ^[4] ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a).}$

Это представление известно как представление Шредингера . Мотивацией для этого представления является действие экспоненцированных операторов положения и импульса в квантовой механике. Параметр описывает переносы в пространстве положения, параметр описывает переносы в пространстве импульса, а параметр дает общий фазовый фактор. Фазовый фактор необходим для получения группы операторов, поскольку переносы в пространстве положения и переносы в пространстве импульса не коммутируют. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Ключевым результатом является теорема Стоуна–фон Неймана , которая утверждает, что каждое (сильно непрерывное) неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга, в котором центр действует нетривиально, эквивалентно для некоторого . ^[5] С другой стороны, все они эквивалентны алгебре Вейля (или алгебре ККС ) на симплектическом пространстве размерности 2 n . ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle \hbar }$

Поскольку группа Гейзенберга является одномерным центральным расширением , ее неприводимые унитарные представления можно рассматривать как неприводимые унитарные проективные представления . Концептуально, представление, приведенное выше, составляет квантово-механический аналог группы трансляционных симметрий на классическом фазовом пространстве, . Тот факт, что квантовая версия является только проективным представлением , предполагается уже на классическом уровне. Гамильтоновы генераторы трансляций в фазовом пространстве являются функциями положения и импульса. Однако диапазон этих функций не образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона , поскольку Скорее, диапазон функций положения и импульса и констант образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Эта алгебра Ли является одномерным центральным расширением коммутативной алгебры Ли , изоморфной алгебре Ли группы Гейзенберга. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

О симплектических векторных пространствах

Общая абстракция группы Гейзенберга строится из любого симплектического векторного пространства . ^[6] Например, пусть ( V , ω) — конечномерное вещественное симплектическое векторное пространство (так что ω — невырожденная кососимметричная билинейная форма на V ). Группа Гейзенберга H( V ) на ( V , ω ) (или просто V для краткости) — это множество V × R, наделенное групповым законом

${\displaystyle (v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).}$

Группа Гейзенберга является центральным расширением аддитивной группы V. Таким образом, существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

Любое симплектическое векторное пространство допускает базис Дарбу { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n ,} удовлетворяющий ω ( e _j , f ^k ) = δ _j ^k и где 2 n — размерность V (размерность V обязательно четная). В терминах этого базиса каждый вектор разлагается как

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

_{Координаты} q ^a и p a являются канонически сопряженными .

Если { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n} — базис Дарбу для V , то пусть { E } — базис для R , а { e _j , f ^k , E } _{1 ≤ j , k ≤ n} — соответствующий базис для V × R. Вектор в H( V ) тогда задается как

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

и групповой закон становится

${\displaystyle (p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

Поскольку базовое многообразие группы Гейзенберга является линейным пространством, векторы в алгебре Ли могут быть канонически отождествлены с векторами в группе. Алгебра Ли группы Гейзенберга задается коммутационным соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

или записано в терминах базиса Дарбу

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}}$

и все остальные коммутаторы исчезают.

Также возможно определить групповой закон другим способом, но который дает группу, изоморфную группе, которую мы только что определили. Чтобы избежать путаницы, мы будем использовать u вместо t , поэтому вектор задается как

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

и групповой закон

${\displaystyle (p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).}$

Элемент группы

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

тогда можно выразить как матрицу

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$,

что дает точное матричное представление H( V ). u в этой формулировке связано с t в нашей предыдущей формулировке соотношением , так что значение t для произведения становится равным ${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}}$,

как и прежде.

Изоморфизм к группе с использованием верхних треугольных матриц основан на разложении V в базис Дарбу, что равносильно выбору изоморфизма V ≅ U ⊕ U *. Хотя новый групповой закон даёт группу, изоморфную той, что дана выше, группу с этим законом иногда называют поляризованной группой Гейзенберга в качестве напоминания о том, что этот групповой закон основан на выборе базиса (выбор лагранжева подпространства V является поляризацией ).

Для любой алгебры Ли существует единственная связная односвязная группа Ли G . Все другие связные группы Ли с той же алгеброй Ли, что и у G, имеют вид G / N , где N — центральная дискретная группа в G . В этом случае центром H( V ) является R , а единственные дискретные подгруппы изоморфны Z . Таким образом, H( V ) / Z — это еще одна группа Ли, которая разделяет эту алгебру Ли. Примечательно, что эта группа Ли не допускает точных конечномерных представлений; она не изоморфна никакой матричной группе. Однако у нее есть хорошо известное семейство бесконечномерных унитарных представлений.

Связь с алгеброй Вейля

Алгебра Ли группы Гейзенберга была описана выше, (1), как алгебра Ли матриц. Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта применяется для определения универсальной обертывающей алгебры . Среди прочих свойств, универсальная обертывающая алгебра является ассоциативной алгеброй , в которую инъективно вкладывается. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$

По теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта это свободное векторное пространство, порожденное мономами

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

где все показатели степени неотрицательны.

Следовательно, состоит из действительных многочленов ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

с коммутационными соотношениями

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

Алгебра тесно связана с алгеброй дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами, поскольку любой такой оператор имеет единственное представление в виде ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Эта алгебра называется алгеброй Вейля . Из абстрактной бессмыслицы следует , что алгебра Вейля W _n является фактором . Однако это также легко увидеть непосредственно из приведенных выше представлений; а именно, с помощью отображения ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Приложения

Параметризация квантовой механики Вейля

Применение, которое привело Германа Вейля к явной реализации группы Гейзенберга, было вопросом о том, почему картина Шредингера и картина Гейзенберга физически эквивалентны. Абстрактно, причина заключается в теореме Стоуна–фон Неймана : существует единственное унитарное представление с заданным действием центрального элемента алгебры Ли z , с точностью до унитарной эквивалентности: все нетривиальные элементы алгебры эквивалентны обычным операторам положения и импульса.

Таким образом, картина Шредингера и картина Гейзенберга эквивалентны — это просто разные способы реализации этого по сути уникального представления.

Тета-представление

Тот же результат единственности был использован Дэвидом Мамфордом для дискретных групп Гейзенберга в его теории уравнений, определяющих абелевы многообразия . Это большое обобщение подхода, используемого в эллиптических функциях Якоби , что является случаем группы Гейзенберга по модулю 2, порядка 8. Простейшим случаем является тета-представление группы Гейзенберга, дискретный случай которой дает тета-функцию .

анализ Фурье

Группа Гейзенберга также встречается в анализе Фурье , где она используется в некоторых формулировках теоремы Стоуна–фон Неймана . В этом случае можно считать, что группа Гейзенберга действует на пространстве квадратично интегрируемых функций; результатом является представление групп Гейзенберга, иногда называемое представлением Вейля.

Как субриманово многообразие

Анимация геодезической в ​​группе Гейзенберга

Трехмерная группа Гейзенберга H ₃ ( R ) на действительных числах также может рассматриваться как гладкое многообразие , и в частности, как простой пример субриманова многообразия . ^[7] Для заданной точки p = ( x , y , z ) в R ³ определим дифференциальную 1-форму Θ в этой точке как

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

Эта одна форма принадлежит кокасательному расслоению R ³ ; то есть,

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

является отображением на касательном расслоении . Пусть

${\displaystyle H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.}$

Видно, что H является подрасслоением касательного расслоения T R ³ . Кометрика на H задается путем проектирования векторов на двумерное пространство, натянутое на векторы в направлениях x и y . То есть, если заданы векторы и в T R ³ , скалярное произведение задается как ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

Полученная структура превращает H в многообразие группы Гейзенберга. Ортонормированный репер на многообразии задается векторными полями Ли

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}}$

которые подчиняются соотношениям [ X , Y ] = Z и [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. Будучи векторными полями Ли, они образуют левоинвариантный базис для группового действия. Геодезические на многообразии являются спиралями, проецирующимися вниз на окружности в двух измерениях. То есть, если

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

является геодезической кривой, то кривая является дугой окружности, и ${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

с интегралом, ограниченным двумерной плоскостью. То есть высота кривой пропорциональна площади круга, охватываемого дугой окружности , что следует из теоремы Грина .

Группа Гейзенберга локально компактной абелевой группы

В более общем виде можно определить группу Гейзенберга локально компактной абелевой группы K , снабженной мерой Хаара . ^[8] Такая группа имеет двойственную по Понтрягину , состоящую из всех непрерывных -значных характеров на K , которая также является локально компактной абелевой группой, если наделена компактно -открытой топологией . Группа Гейзенберга, связанная с локально компактной абелевой группой K , является подгруппой унитарной группы , порожденной сдвигами из K и умножениями на элементы из . ${\displaystyle {\hat {K}}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

Более подробно, гильбертово пространство состоит из квадратично-интегрируемых комплекснозначных функций на K. Трансляции в K образуют унитарное представление K как операторов на : ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

для . То же самое происходит и с умножениями на символы: ${\displaystyle x,y\in K}$

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

для . Эти операторы не коммутируют, а вместо этого удовлетворяют ${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$

${\displaystyle \left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

умножение на комплексное число с фиксированным единичным модулем.

Таким образом, группа Гейзенберга, связанная с K, является типом центрального расширения , посредством точной последовательности групп: ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

Более общие группы Гейзенберга описываются 2-коциклами в группе когомологий . Существование дуальности между и приводит к каноническому коциклу, но, как правило, существуют и другие. ${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

Группа Гейзенберга действует неприводимо на . Действительно, непрерывные характеры разделяют точки ^[9], поэтому любой унитарный оператор , который коммутирует с ними, является множителем . Но коммутирование с переносами подразумевает, что множитель постоянен. ^[10] ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

Версия теоремы Стоуна–фон Неймана , доказанная Джорджем Макки , справедлива для группы Гейзенберга . ^{[11] [12]} Преобразование Фурье является уникальным связующим звеном между представлениями и . Подробности см. в обсуждении теоремы Стоуна–фон Неймана#Связь с преобразованием Фурье . ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}\left({\hat {K}}\right)}$

Смотрите также

• Канонические коммутационные соотношения
• Преобразование Вигнера-Вейля
• Теорема Стоуна–фон Неймана
• Проективное представление
• Гипотеза геометризации

Примечания

1. Войт, Питер. Темы теории представлений: алгебра Гейзенберга (PDF) .
2. Холл 2015. Предложение 3.26.
3. Холл 2015. Глава 2, Упражнение 9.
4. Холл 2013. Предложение 14.7.
5. Холл 2013. Теорема 14.8.
6. Ханс Тильгнер, «Класс разрешимых групп Ли и их связь с каноническим формализмом. Архивировано 5 июня 2011 г. в Wayback Machine », Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique , 13 № 2 (1970), стр. 103–127.
7. Ричард Монтгомери, Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям (Математические обзоры и монографии, том 91) , (2002) Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1391-9 . 
8. Дэвид Мамфорд (1991), «Лекции Тата по тета III», Прогресс в математике , 97 , Биркхаузер
9. Карл Генрих Хофманн, Сидней А. Моррис (2006), Структура компактных групп: учебник для студентов, справочник для экспертов , De Gruyter studies in Mathematics 25 (2-е пересмотренное издание), Вальтер де Грюйтер, ISBN 9783110190069
10. Этот аргумент появляется в несколько иной постановке у Роджера Хоу (1980), «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе», Бюллетень Американского математического общества , 3 (2): 821–844, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 , MR  0578375
11. Джордж Макки (1949), «О теореме Стоуна и фон Неймана», Duke Mathematical Journal , 16 (2): 313–326, doi :10.1215/s0012-7094-49-01631-2
12. А Прасад (2009), «Простое доказательство теоремы Стоуна – фон Неймана – Макки», Expositiones Mathematicae , 29 : 110–118, arXiv : 0912.0574 , doi : 10.1016/j.exmath.2010.06.001, S2CID  56340220

Ссылки

• Бинц, Эрнст; Подс, Соня (2008). Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Graduate Texts in Mathematics. Том 222 (второе изд.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе». Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–843. doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14825-9 . MR  0578375.
• Кириллов, Александр А. (2004). "Гл. 2: "Представления и орбиты группы Гейзенберга". Лекции по методу орбит . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3530-0.
• Mackey, George (1976). Теория представлений унитарных групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0226500522.

Внешние ссылки

• Groupprops, Свойства группы Wiki Группа унитреугольных матриц UT(3,p)