В математике алгебра Гекке — это алгебра, порождённая операторами Гекке , которые названы в честь Эриха Гекке .
Алгебра представляет собой коммутативное кольцо . [1] [2]
В классической теории эллиптических модулярных форм операторы Гекке T n с n , взаимно простыми с уровнем, действующие на пространстве параболических форм заданного веса, являются самосопряженными относительно скалярного произведения Петерссона . [3] Следовательно, спектральная теорема подразумевает, что существует базис модулярных форм, которые являются собственными функциями для этих операторов Гекке. Каждая из этих базисных форм обладает произведением Эйлера . Точнее, ее преобразование Меллина является рядом Дирихле , который имеет произведения Эйлера с локальным множителем для каждого простого числа p , обратным многочлену Гекке , квадратичному многочлену от p − s . [4] [5] В случае, рассмотренном Морделлом, пространство параболических форм веса 12 относительно полной модулярной группы является одномерным. Отсюда следует, что форма Рамануджана имеет произведение Эйлера и устанавливает мультипликативность τ ( n ). [6]
Классическая алгебра Гекке была обобщена на другие параметры, такие как алгебра Гекке локально компактной группы и сферическая алгебра Гекке, которые возникают, когда модулярные формы и другие автоморфные формы рассматриваются с использованием адельных групп . [7] Они играют центральную роль в соответствии Ленглендса . [8]
Производная алгебра Гекке является дальнейшим обобщением алгебр Гекке до производных функторов . [8] [9] [10] Она была введена Питером Шнайдером в 2015 году, который вместе с Рейчел Оливье использовал их для изучения p -адического соответствия Ленглендса. [8] [9] [10] [11] Она является предметом нескольких гипотез о когомологиях арифметических групп Акшая Венкатеша и его коллег. [8] [10] [12] [13] [14]