n-хлопья

n -чешуйка , поличешуйка , или n -угольник Серпинского , ^{[1] : 1} - это фрактал, построенный из n -угольника . Этот n -угольник заменяется чешуйкой из меньших n -угольников, так что масштабированные многоугольники размещаются в вершинах , а иногда и в центре. Этот процесс повторяется рекурсивно, чтобы получить фрактал. Обычно также существует ограничение, что n -угольники должны соприкасаться , но не перекрываться.

В двух измерениях

Наиболее распространенная разновидность n -чешуйки является двумерной (с точки зрения ее топологической размерности ) и образована многоугольниками. Четыре наиболее распространенных особых случая образованы треугольниками, квадратами, пятиугольниками и шестиугольниками, но ее можно расширить до любого многоугольника. ^{[1] : 2} Ее границей является кривая фон Коха различных типов — в зависимости от n -угольника — и внутри содержится бесконечно много кривых Коха. Фракталы занимают нулевую площадь, но имеют бесконечный периметр.

Формула масштабного коэффициента r для любой n -чешуйки имеет вид: ^[2]

${\displaystyle r={\frac {1}{2\left(1+\displaystyle \sum _{k=1}^{\lfloor n/4\rfloor }{\cos {\frac {2\pi k}{n}}}\right)}}}$

где косинус вычисляется в радианах, а n — число сторон n -угольника. Хаусдорфова размерность n - угольника равна , где m — число полигонов в каждой отдельной чешуйке, а r — масштабный коэффициент. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log m}{\log r}}}$

треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — это n- чешуйка, образованная последовательными чешуйками из трех треугольников. Каждая чешуйка образована путем размещения треугольников, масштабированных на 1/2, в каждом углу треугольника, который они заменяют. Его размерность Хаусдорфа равна ≈ 1,585. Она получается, поскольку каждая итерация имеет 3 треугольника, масштабированных на 1/2. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$

• 
  Шестая итерация треугольника Серпинского.
• 
  Треугольник Серпинского, созданный игрой в хаос .

фрактал Вичека

Пятая итерация фрактала Вичека

Если бы 4-угольник Серпинского был построен из данного определения, масштабный коэффициент был бы 1/2, а фрактал был бы просто квадратом. Более интересная альтернатива, фрактал Вичека , редко называемый квадрочешуйкой, образован последовательными чешуйками из пяти квадратов, масштабированных на 1/3. Каждая чешуйка образована либо размещением масштабированного квадрата в каждом углу и одного в центре, либо одного на каждой стороне квадрата и одного в центре. Его размерность Хаусдорфа равна ≈ 1,4650. Получается, потому что каждая итерация имеет 5 квадратов, масштабированных на 1/3. Граница фрактала Вичека представляет собой квадратичную кривую Коха типа 1 . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}}$

Пентафлаке

Приближение к границе пентафлаке

Пентафлак, или пятиугольник Серпинского, образован последовательными чешуйками из шести правильных пятиугольников. ^[3] Каждая чешуйка образована размещением пятиугольника в каждом углу и одного в центре. Ее размерность Хаусдорфа равна ≈ 1,8617, где ( золотое сечение ). Получается, потому что каждая итерация имеет 6 пятиугольников, которые масштабируются на . Границей пентафлака является кривая Коха в 72 градуса. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}}$

Существует также вариация пентафлаке, которая не имеет центрального пятиугольника. Ее размерность Хаусдорфа равна ≈ 1,6723. Эта вариация все еще содержит бесконечно много кривых Коха, но они несколько более заметны. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(1+\varphi )}}}$

• 
• 
  3-я итерация, с центральными пятиугольниками
• 
  4-я итерация, с центральными пятиугольниками
• 
  5-я итерация, с центральными пятиугольниками

• 
  2-я итерация, без центральных пятиугольников
• 
  3-я итерация, без центральных пятиугольников
• 
  4-я итерация, без центральных пятиугольников
• 
  5-я итерация, без центральных пятиугольников

Концентрические узоры плиток в форме пятилистной границы могут покрывать плоскость, при этом центральная точка покрывается третьей формой, образованной сегментами 72-градусной кривой Коха, также обладающей 5-кратной вращательной и отражательной симметрией.

• 
  Пятислойная мозаика. Центральная точка не закрыта.
• 
  Пятислойная мозаика. Центральная точка закрыта.

Гексафлак

Гексафлак образован последовательными хлопьями из семи правильных шестиугольников. ^[4] Каждая хлопья образована путем размещения масштабированного шестиугольника в каждом углу и одного в центре. Каждая итерация имеет 7 шестиугольников, которые масштабируются на 1/3. Таким образом, гексафлак имеет 7 n ^{−1 шестиугольников} в своей n -й итерации, и ее размерность Хаусдорфа равна ≈ 1,7712. Граница гексафлака является стандартной кривой Коха в 60 градусов, и внутри нее содержится бесконечно много снежинок Коха . Кроме того, проекция куба Кантора на плоскость, ортогональную его главной диагонали, является гексафлаком. Гексафлак применялся при проектировании антенн ^[4] и оптических волокон . ^[5] ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}}$

Подобно пентафлаке, существует также вариация гексафлаке, называемая шестиугольником Серпинского, которая не имеет центрального шестиугольника. ^[6] Ее размерность Хаусдорфа равна ≈ 1,6309. Эта вариация все еще содержит бесконечно много кривых Коха в 60 градусов. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(3)}}}$

• 
  Гексафлак
• 
  Первые шесть итераций гексафлака.
• 
  Четвертая итерация шестиугольника Серпинского.
• 
  Ортогональная проекция куба Кантора, показывающая гексагон.

Полифлак

n-чешуйки (без центральных полигонов) со сторон 3 по 10 и порядков 0 по 4 ^[7] (кликните или нажмите, чтобы увеличить).

n-чешуйки (с центральными полигонами) со сторон 3 по 10 и порядков 0 по 4 ^[7] (кликните или нажмите, чтобы увеличить).

n -чешуйки более высоких полигонов также существуют, хотя они менее распространены и обычно не имеют центрального полигона. [Если центральный полигон генерируется, масштабный коэффициент отличается для нечетных и четных : для четных и для нечетных .] Ниже показаны некоторые примеры; чешуйка 7-12. Хотя это может быть неочевидно, эти более высокие поличешуйки все еще содержат бесконечное количество кривых Коха, но угол кривых Коха уменьшается с увеличением n . Их размерности Хаусдорфа немного сложнее вычислить, чем у более низких n -чешуек, потому что их масштабный коэффициент менее очевиден. Однако размерность Хаусдорфа всегда меньше двух, но не меньше единицы. Интересная n -чешуйка — это ∞-чешуйка, потому что с увеличением значения n размерность Хаусдорфа n -чешуйки приближается к 1, ^{[1] : 7} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R=1-2r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {R={\frac {1-r}{cos(\pi /n)}}-r}}$ ${\displaystyle n}$

• 
  Первые четыре итерации гептахлопьев или 7-хлопьев.
• 
  Первые четыре итерации октохлопьев или 8-хлопьев.
• 
  Первые четыре итерации эннеафлаке или 9-хлопьев.
• 
  Первые четыре итерации декафлейка или 10-хлопьев.
• 
  Первые четыре итерации хендекафлейка или 11-флейка.
• 
  Первые четыре итерации додекафлейка или 12-флейка.

В трех измерениях

n -чешуйки можно обобщить до более высоких измерений, в частности, до топологического измерения, равного трем. ^[8] Вместо многоугольников итеративно заменяются правильные многогранники . Однако, хотя существует бесконечное число правильных многоугольников, существует только пять правильных выпуклых многогранников. Из-за этого трехмерные n-чешуйки также называют платоновыми твердыми фракталами . ^[9] В трех измерениях объем фракталов равен нулю.

Тетраэдр Серпинского

Тетраэдр Серпинского образован последовательными чешуйками четырех правильных тетраэдров. Каждая чешуйка образована путем помещения тетраэдра, масштабированного на 1/2, в каждый угол. Его размерность Хаусдорфа равна , что в точности равно 2. На каждой грани есть треугольник Серпинского, и внутри содержится бесконечно много. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(4)}{\log(2)}}}$

• 
  Третья итерация тетраэдра Серпинского.

Шестигранная пластинка

Шестигранник, или куб, чешуйка, определяемая так же, как тетраэдр Серпинского, — это просто куб ^[10] и не представляет интереса как фрактал. Однако есть две приятные альтернативы. Одна из них — губка Менгера , где каждый куб заменен трехмерным кольцом кубов. Ее размерность Хаусдорфа составляет ≈ 2,7268. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(20)}{\log(3)}}}$

Другая чешуйка шестигранника может быть получена способом, аналогичным фракталу Вичека, расширенному до трех измерений. Каждый куб делится на 27 меньших кубов, а центральный крест сохраняется, что является противоположностью губки Менгера , где крест удален. Однако это не дополнение к губке Менгера. Его размерность Хаусдорфа составляет ≈ 1,7712, поскольку крест из 7 кубов, каждый из которых масштабирован на 1/3, заменяет каждый куб. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}}$

• 
  Четвертая версия губки Менгера.
• 
  Третья итерация 3D-фрактала Вичека .

Октаэдрическая пластинка

Чешуйка октаэдра, или октаэдр Серпинского, образована последовательными чешуйками шести правильных октаэдров. Каждая чешуйка образована путем помещения октаэдра, масштабированного на 1/2, в каждый угол. Ее размерность Хаусдорфа равна ≈ 2,5849. На каждой грани находится треугольник Серпинского, и внутри содержится бесконечно много. ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(2)}}}$

• 
  Третья итерация октаэдрического отщепа.

Додекаэдрическая пластинка

Чешуйка додекаэдра, или додекаэдр Серпинского, образована последовательными чешуйками двадцати правильных додекаэдров. Каждая чешуйка образована размещением в каждом углу додекаэдра, масштабированного на . Ее размерность Хаусдорфа равна ≈ 2,3296. ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2+\varphi }}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(20)}{\log(2+\varphi )}}}$

• 
  Вторая итерация фрактальной чешуйки додекаэдра.

Икосаэдрическая пластинка

Чешуйка икосаэдра, или икосаэдр Серпинского, образована последовательными чешуйками двенадцати правильных икосаэдров. Каждая чешуйка образована размещением икосаэдра, масштабированного на , в каждом углу. Ее размерность Хаусдорфа равна ≈ 2,5819. ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(12)}{\log(1+\varphi )}}}$

• 
  Третья итерация фрактальной чешуйки икосаэдра.

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Ссылки

1. Деннис, Кевин; Шликер, Стивен, Серпински н-Гонс (PDF)
2. Риддл, Ларри. "Sierpinski n-gons" . Получено 9 мая 2011 г.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Пентафлаке». MathWorld .
4. Choudhury, SM; Matin, MA (2012), «Влияние заземляющей плоскости FSS на вторую итерацию гексачешуйчатой ​​фрактальной патч-антенны», 7-я Международная конференция по электротехнической вычислительной технике (ICECE 2012) , стр. 694–697, doi : 10.1109/ICECE.2012.6471645.
5. Лай, Чжэн-Сюань (2012), Самоподобные оптические волокна, докторская диссертация, Сиракузский университет, Колледж электротехники и компьютерных наук им. Л.К. Смита.
6. Девани, Роберт Л. (ноябрь 2004 г.), «Хаос правит!» (PDF) , Math Horizons : 11–13.
7. R.Ugalde, Laurence. "n-flakes in the Fōrmulæ programming language". Fōrmulæ . Получено 1 июня 2024 г. .
8. Каннен, Эйми; Шликер, Стивен, Правильные многогранники Серпинского (PDF)
9. Пол Бурк (декабрь 2005 г.). "Platonic solid fractals and their additions". Архивировано из оригинала 9 декабря 2014 г. Получено 4 декабря 2014 г.
10. Каннен, Эйми; Шликер, Стивен, Правильные многогранники Серпинского (PDF) , стр. 3

Внешние ссылки

• Quadraflakes, Pentaflakes, Hexaflakes и многое другое – включает код Mathematica для генерации этих фракталов
• Javascript для покрытия плоскости 5-кратными симметричными плитками Пентафлаке.