В абстрактной геометрии полукуб — это абстрактный правильный многогранник , содержащий половину граней куба .
Его можно реализовать как проективный многогранник ( разбиение действительной проективной плоскости тремя четырехугольниками), который можно визуализировать, построив проективную плоскость как полусферу , в которой противоположные точки вдоль границы соединены, и разделив полусферу на три равные части.
Он имеет три квадратных грани, шесть ребер и четыре вершины. Он обладает неожиданным свойством, что каждая грань соприкасается с каждой другой гранью по двум ребрам, и каждая грань содержит все вершины, что дает пример абстрактного многогранника, грани которого не определяются их наборами вершин.
С точки зрения теории графов скелет представляет собой тетраэдрический граф , вложение K4 ( полного графа с четырьмя вершинами) на проективной плоскости .
Не следует путать полукуб с полукубом — полукуб — это проективный многогранник, а полукуб — это обычный многогранник (в евклидовом пространстве). Хотя оба они имеют половину вершин куба, полукуб — это частное куба, а вершины полукуба — это подмножество вершин куба.
Гемикуб — это дуальный Петри к правильному тетраэдру , с четырьмя вершинами, шестью ребрами тетраэдра и тремя четырехугольными гранями многоугольника Петри . Грани можно рассматривать как красную, зеленую и синюю раскраску ребер в тетраэдральном графе :
