Геометрическое отношение

В алгебраической геометрии геометрическое отношение алгебраического многообразия X с действием алгебраической группы G — это морфизм многообразий, такой что ^[1] ${\displaystyle \pi :X\to Y}$

(i) Отображение сюръективно, и его слои — это в точности G-орбиты в X. ${\displaystyle \pi }$

(ii) Топология Y является фактор-топологией : подмножество открыто тогда и только тогда, когда открыто. ${\displaystyle U\subset Y}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$

(iii) Для любого открытого подмножества является изоморфизмом. (Здесь k — базовое поле.) ${\displaystyle U\subset Y}$ ${\displaystyle \pi ^{\#}:k[U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}}$

Понятие появляется в геометрической теории инвариантов . (i), (ii) говорят, что Y является пространством орбит X в топологии . (iii) также может быть сформулировано как изоморфизм пучков . В частности, если X неприводимо, то таково и Y и : рациональные функции на Y можно рассматривать как инвариантные рациональные функции на X (т. е. рациональные инварианты X ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}}_{X}^{G})}$ ${\displaystyle k(Y)=k(X)^{G}}$

Например, если H — замкнутая подгруппа G , то — геометрическое отношение. Отношение GIT может быть или не быть геометрическим отношением: но оба являются категориальными отношениями, что уникально; другими словами, нельзя иметь оба типа отношений (не будучи одинаковыми). ${\displaystyle G/H}$

Отношение к другим факторам

Геометрическое частное является категорическим частным . Это доказано в геометрической инвариантной теории Мамфорда.

Геометрическое частное — это как раз хорошее частное , слои которого являются орбитами группы.

Примеры

• Каноническая карта — это геометрическое отношение. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\setminus 0\to \mathbb {P} ^{n}}$
• Если L — линеаризованное линейное расслоение на алгебраическом G -многообразии X , то, записывая для множества устойчивых точек относительно L , частное ${\displaystyle X_{(0)}^{s}}$

${\displaystyle X_{(0)}^{s}\to X_{(0)}^{s}/G}$  

является геометрическим отношением.

Ссылки

1. Брайон, М. "Введение в действия алгебраических групп" (PDF) . Определение 1.18.