Герман Гюнтер Грассман (нем. Graßmann , произносится [ˈhɛɐman ˈɡʏntʰɐ ˈɡʁasman] ; 15 апреля 1809 г. — 26 сентября 1877 г.) был немецким энциклопедистом, известным в свое время как лингвист , а теперь также как математик . Он был также физиком , ученым-универсалом и издателем. Его математические работы были малоизвестны, пока ему не исполнилось шестьдесят. Его работа предшествовала и превзошла концепцию, которая сейчас известна как векторное пространство . Он ввел грассманиан , пространство, которое параметризует все k -мерные линейные подпространства n -мерного векторного пространства V . В лингвистике он помог освободить историю и структуру языка друг от друга.
Герман Грассман был третьим из 12 детей Юстуса Гюнтера Грассмана, рукоположенного священника , преподававшего математику и физику в гимназии Штеттина , где Герман получил образование.
Грассман был ничем не примечательным студентом, пока не получил высокую оценку на экзаменах для поступления в прусские университеты. Начиная с 1827 года он изучал теологию в Берлинском университете , а также посещал занятия по классическим языкам , философии и литературе. Он, по-видимому, не посещал курсы по математике или физике .
Хотя у него не было университетского образования в области математики, это была область, которая больше всего его интересовала, когда он вернулся в Штеттин в 1830 году после завершения учебы в Берлине. После года подготовки он сдал экзамены, необходимые для преподавания математики в гимназии, но добился результата, достаточно хорошего, чтобы позволить ему преподавать только на низших уровнях. Примерно в это же время он сделал свои первые значительные математические открытия, которые привели его к важным идеям, изложенным им в его работе 1844 года Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik , здесь упоминаемой как A1 , позже пересмотренной в 1862 году как Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet , здесь упоминаемой как A2 .
В 1834 году Грассман начал преподавать математику в Gewerbeschule в Берлине. Год спустя он вернулся в Штеттин, чтобы преподавать математику, физику, немецкий язык, латынь и религиоведение в новой школе Otto Schule. В течение следующих четырех лет Грассман сдал экзамены, позволяющие ему преподавать математику, физику , химию и минералогию на всех уровнях средней школы.
В 1847 году он был назначен «Oberlehrer» или старшим учителем. В 1852 году он был назначен на должность своего покойного отца в гимназии Штеттина, тем самым получив звание профессора. В 1847 году он обратился в прусское министерство образования с просьбой рассмотреть его кандидатуру на должность в университете, после чего министерство обратилось к Эрнсту Куммеру с просьбой высказать свое мнение о Грассмане. Куммер написал ответ, в котором говорилось, что сочинение Грассмана, удостоенное премии 1846 года (см. ниже), содержало «похвально хороший материал, выраженный в несовершенной форме». Отчет Куммера положил конец любым шансам на то, что Грассман мог бы получить университетскую должность. Этот эпизод подтвердил норму; раз за разом ведущие деятели времен Грассмана не признавали ценность его математики.
Начиная с политических потрясений в Германии 1848–1849 годов, Герман и его брат Роберт издавали штеттинскую газету Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben , призывающую к объединению Германии под конституционной монархией . (Это произошло в 1871 году.) Написав серию статей о конституционном праве , Герман расстался с газетой, обнаружив, что все больше расходится с ее политическим направлением.
У Грассмана было одиннадцать детей, семеро из которых достигли совершеннолетия. Сын, Герман Эрнст Грассман, стал профессором математики в Гиссенском университете .
Один из многочисленных экзаменов, которые сдавал Грассман, требовал от него представить эссе по теории приливов. В 1840 году он так и сделал, взяв за основу основную теорию из « Traité de mécanique céleste» Лапласа и «Mécanique analytique» Лагранжа , но изложив эту теорию с использованием векторных методов, над которыми он размышлял с 1832 года. Это эссе, впервые опубликованное в « Собрании сочинений » 1894–1911 годов, содержит первое известное появление того, что сейчас называется линейной алгеброй , и понятия векторного пространства . Он продолжил развивать эти методы в своей работе «Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik» ( A1 ) и ее более поздней редакции «Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet» ( A2 ).
В 1844 году Грассман опубликовал свой шедевр ( A1 ), обычно называемый Ausdehnungslehre , что переводится как «теория расширения» или «теория экстенсивных величин». Поскольку A1 предложил новую основу для всей математики, работа началась с довольно общих определений философского характера. Затем Грассман показал, что как только геометрия представлена в алгебраической форме, которую он отстаивал, число три не играет привилегированной роли как число пространственных измерений ; число возможных измерений фактически неограниченно.
Фернли-Сандер описывает основу линейной алгебры Грассмана следующим образом: [1]
Определение линейного пространства ( векторного пространства ) [...] стало широко известно около 1920 года, когда Герман Вейль и другие опубликовали формальные определения. Фактически, такое определение было дано тридцатью годами ранее Пеано , который был хорошо знаком с математическими работами Грассмана. Грассман не дал формального определения — язык был недоступен — но нет сомнений, что у него была концепция.
Начиная с набора «единиц» e 1 , e 2 , e 3 , ..., он фактически определяет свободное линейное пространство, которое они порождают; то есть, он рассматривает формальные линейные комбинации a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ..., где a j — действительные числа, определяет сложение и умножение на действительные числа [тем, что сейчас является обычным способом] и формально доказывает свойства линейного пространства для этих операций. ... Затем он развивает теорию линейной независимости способом, который удивительно похож на представление, которое можно найти в современных текстах по линейной алгебре. Он определяет понятия подпространства , линейной независимости , охвата , размерности , объединения и пересечения подпространств и проекций элементов на подпространства.
[...] немногие подошли ближе, чем Герман Грассман, к созданию в одиночку новой темы.
Следуя идее отца Грассмана, A1 также определил внешнее произведение , также называемое «комбинаторным произведением» (на немецком языке: kombinatorisches Produkt или äußeres Produkt «внешнее произведение»), ключевую операцию алгебры, которая теперь называется внешней алгеброй . (Следует иметь в виду, что во времена Грассмана единственной аксиоматической теорией была евклидова геометрия , а общее понятие абстрактной алгебры еще не было определено.) В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд присоединил эту внешнюю алгебру к кватернионам Уильяма Роуэна Гамильтона , заменив правило Грассмана e p e p = 0 правилом e p e p = 1. (Для кватернионов у нас есть правило i 2 = j 2 = k 2 = −1.) Более подробную информацию см. в разделе Внешняя алгебра .
A1 был революционным текстом, слишком опередившим свое время, чтобы быть оцененным по достоинству. Когда Грассман представил его для подачи заявки на профессорскую должность в 1847 году, министерство попросило Эрнста Куммера сделать отчет. Куммер заверил, что в нем есть хорошие идеи, но нашел изложение неполным и посоветовал не давать Грассману университетскую должность. В течение следующих 10 с лишним лет Грассман написал множество работ, применяющих его теорию расширения, включая его 1845 Neue Theorie der Elektrodynamik и несколько статей по алгебраическим кривым и поверхностям , в надежде, что эти приложения заставят других серьезно отнестись к его теории.
В 1846 году Мёбиус пригласил Грассмана принять участие в конкурсе для решения проблемы, впервые предложенной Лейбницем : разработать геометрическое исчисление, лишенное координат и метрических свойств (то, что Лейбниц назвал analysis situs ). Работа Грассмана Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik стала победившей (и единственной) работой. Мёбиус, как один из судей, раскритиковал способ, которым Грассман ввел абстрактные понятия, не дав читателю никакой интуиции относительно того, почему эти понятия имеют ценность.
В 1853 году Грассман опубликовал теорию смешивания цветов; четыре закона цвета его теории до сих пор преподаются как законы Грассмана . Работа Грассмана по этой теме не согласовывалась с работой Гельмгольца . [2] Грассман также писал о кристаллографии , электромагнетизме и механике .
В 1861 году Грассман заложил основу для аксиоматизации арифметики Пеано в своем Lehrbuch der Arithmetik . [3] В 1862 году Грассман опубликовал полностью переписанное второе издание A1 , надеясь заслужить запоздалое признание своей теории расширения и содержащее окончательное изложение его линейной алгебры . Результат, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet ( A2 ), оказался не лучше, чем A1 , хотя манера изложения A2 предвосхищает учебники 20-го века.
В 1840-х годах математики, как правило, были не готовы понять идеи Грассмана. [4] В 1860-х и 1870-х годах различные математики приходили к идеям, похожим на идеи Грассмана, но сам Грассман больше не интересовался математикой. [4] : 46
Адемар Жан Клод Барре де Сен-Венан разработал векторное исчисление, похожее на исчисление Грассмана, которое он опубликовал в 1845 году. Затем он вступил в спор с Грассманом о том, кто из них двоих первым придумал эти идеи. Грассман опубликовал свои результаты в 1844 году, но Сен-Венан утверждал, что он впервые разработал эти идеи в 1832 году.
Одним из первых математиков, оценивших идеи Грассмана еще при его жизни, был Герман Ханкель , автор которого в 1867 году написал «Теорию комплексной системы Zahlensysteme» . [5]
[…], он разработал […] некоторые алгебры Германа Грассмана и кватернионы У. Р. Гамильтона . Ганкель был первым, кто осознал значимость долгое время забытых трудов Грассмана и находился под их сильным влиянием.
В 1872 году Виктор Шлегель опубликовал первую часть своей «Системы учения о пространстве» , в которой подход Грассмана использовался для получения древних и современных результатов в плоской геометрии . Феликс Клейн написал отрицательную рецензию на книгу Шлегеля, ссылаясь на ее неполноту и отсутствие перспективы Грассмана. В 1875 году Шлегель выпустил вторую часть своей «Системы по Грассману», на этот раз разрабатывая многомерную геометрию. Тем временем Клейн продвигал свою программу Эрлангена , которая также расширила сферу геометрии. [6]
Понимание Грассмана ожидало концепции векторных пространств , которые затем могли бы выразить полилинейную алгебру его теории расширения. Чтобы установить приоритет Грассмана над Гамильтоном, Джозайя Уиллард Гиббс призвал наследников Грассмана опубликовать эссе 1840 года о приливах. [7] Первая монография А. Н. Уайтхеда , « Универсальная алгебра» (1898), включала первое систематическое изложение на английском языке теории расширения и внешней алгебры . С возникновением дифференциальной геометрии внешняя алгебра была применена к дифференциальным формам .
В 1995 году Ллойд К. Канненберг опубликовал английский перевод «The Ausdehnungslehre and Other works». Для ознакомления с ролью работ Грассмана в современной математической физике см. «The Road to Reality» Роджера Пенроуза . [8]
Математические идеи Грассмана начали распространяться только к концу его жизни. Спустя тридцать лет после публикации A1 издатель написал Грассману: «Ваша книга Die Ausdehnungslehre уже некоторое время не издается. Поскольку ваша работа почти не продавалась, около 600 экземпляров были использованы в 1864 году в качестве макулатуры, а оставшиеся несколько разрозненных экземпляров теперь распроданы, за исключением одного экземпляра в нашей библиотеке». [4] : 45 Разочарованный приемом своей работы в математических кругах, Грассман потерял контакты с математиками, а также интерес к геометрии. В последние годы жизни он обратился к исторической лингвистике и изучению санскрита . Он писал книги по немецкой грамматике , собирал народные песни и изучал санскрит. Он написал словарь на 2000 страниц и перевод Ригведы ( более 1000 страниц). В современных исследованиях Ригведы работа Грассмана часто цитируется. В 1955 году вышло третье издание его словаря. [4] : 46
Грассман также заметил и представил фонологическое правило , которое существует как в санскрите , так и в греческом языке . В его честь это фонологическое правило известно как закон Грассмана . Его открытие было революционным для исторической лингвистики того времени, поскольку оно бросило вызов широко распространенному представлению о санскрите как о более древнем предшественнике других индоевропейских языков. [9] Это было широко распространенное предположение из-за более агглютинативной структуры санскрита, через которую, как считалось, прошли такие языки, как латынь и греческий, чтобы достичь своей более «современной» синтетической структуры. Однако работа Грассмана доказала, что, по крайней мере, в одной фонологической модели немецкий язык действительно был «старше» (т. е. менее синтетическим), чем санскрит. Это означало, что генеалогические и типологические классификации языков наконец-то были правильно разделены в лингвистике, что позволило лингвистам более позднего времени добиться значительного прогресса. [10]
Эти филологические достижения были отмечены при жизни. Он был избран в Американское восточное общество , а в 1876 году получил почетную докторскую степень от Тюбингенского университета .
Довольно хорошо известно, благодаря собственному признанию Пеано, что Пеано […] широко использовал работу Грассмана в своей разработке аксиом. Не так хорошо известно, что Грассман по сути имел характеристику множества всех целых чисел, теперь общепринятую в текстах современной алгебры, что оно образует упорядоченную
целочисленную область
, в которой каждое множество положительных элементов имеет наименьший член. […] [Книга Грассмана] была, вероятно, первой серьезной и довольно успешной попыткой поставить числа на более или менее аксиоматическую основу.
Примечание: Обширная онлайн-библиография, показывающая существенный современный интерес к жизни и творчеству Грассмана. Ссылки на каждую главу в Schubring.
