Гибкий метод

Методика расчета сил и перемещений стержней конструкции.

В строительной инженерии метод гибкости , также называемый методом последовательных деформаций , является традиционным методом расчета сил и смещений элементов в структурных системах. Его современная версия, сформулированная на основе матриц гибкости элементов , также носит название метода матричных сил из-за использования сил элементов в качестве основных неизвестных. ^[1]

Гибкость членства

Гибкость обратна жесткости . Например, рассмотрим пружину, у которой Q и q являются соответственно силой и деформацией:

• Соотношение жесткости пружины равно Q = kq , где k — жесткость пружины.
• Его соотношение гибкости: q = f Q , где f — гибкость пружины.
• Следовательно, f = 1/ k .

Типичное отношение гибкости члена имеет следующую общую форму:

где

m = номер участника m .

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= вектор характеристических деформаций элемента.

${\displaystyle \mathbf {f} ^{m}}$= матрица гибкости элемента, которая характеризует склонность элемента к деформации под действием сил.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= вектор независимых характеристических сил стержня, которые являются неизвестными внутренними силами. Эти независимые силы порождают все силы на концах членов за счет равновесия членов.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{om}}$= вектор характерных деформаций элемента, вызванных внешними воздействиями (такими как известные силы и изменения температуры), приложенными к изолированному, отсоединенному элементу (т. е. с ). ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=0}$

Для системы, состоящей из многих членов, соединенных между собой в точках, называемых узлами, отношения гибкости членов можно объединить в одно матричное уравнение, опустив верхний индекс m:

где M — общее количество характерных деформаций или сил элементов в системе.

В отличие от матричного метода жесткости , где отношения жесткости элементов можно легко интегрировать с помощью условий узлового равновесия и совместимости, нынешняя гибкая форма уравнения ( 2 ) представляет серьезные трудности. Поскольку силы на стержнях являются основными неизвестными, количество узловых уравнений равновесия, как правило, недостаточно для решения - если только система не является статически определенной . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}}$

Уравнения узлового равновесия

Чтобы решить эту трудность, сначала мы воспользуемся уравнениями узлового равновесия, чтобы уменьшить количество независимых неизвестных сил-членов. Узловое уравнение равновесия системы имеет вид:

где

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}}$: Вектор узловых сил на всех N степенях свободы системы.

${\displaystyle \mathbf {b} _{N\times M}}$: Результирующая матрица узлового равновесия

${\displaystyle \mathbf {W} _{N\times 1}}$: Вектор сил, возникающих от нагрузки на элементы.

В случае детерминированных систем матрица b квадратная и решение для Q можно найти сразу из ( 3 ) при условии, что система устойчива.

Основная система

Для статически неопределимых систем M > N и, следовательно, мы можем дополнить ( 3 ) уравнениями I = M − N вида:

Вектор X — это так называемый вектор избыточных сил, а I — степень статической неопределенности системы. Обычно мы выбираем j , k , …, и такие, которые являются опорной реакцией или внутренней силой на конце члена. При соответствующем выборе избыточных сил теперь можно решить систему уравнений ( 3 ), дополненную ( 4 ), и получить: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X_{i}}$

Замена в ( 2 ) дает:

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) являются решением для первичной системы , которая является исходной системой, которая была статически детерминирована путем разрезов, обнажающих избыточные силы . Уравнение ( 5 ) эффективно сводит набор неизвестных сил к . ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Уравнение совместимости и решение

Далее нам нужно составить уравнения совместимости, чтобы найти . Уравнения совместимости восстанавливают требуемую непрерывность на разрезах, приравнивая относительные перемещения на избыточных элементах X к нулю. То есть, используя метод единичной фиктивной силы : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}}$

где

${\displaystyle \mathbf {F} _{XX}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Уравнение ( 7b ) может быть решено относительно X , а затем силы на стержнях находятся из ( 5 ), тогда как узловые перемещения могут быть найдены по формуле

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {F} _{RR}\mathbf {R} +\mathbf {r} _{R}^{o}}$

где

${\displaystyle \mathbf {F} _{RR}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{R}}$– матрица гибкости системы .

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Перемещения опор, происходящие в резервных местах, можно включить в правую часть уравнения ( 7 ), а перемещения опор в других местах также необходимо включить в и . ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}}$

Преимущества и недостатки

Хотя выбор избыточных сил в ( 4 ) кажется произвольным и затруднительным для автоматического расчета, это возражение можно преодолеть, перейдя непосредственно от ( 3 ) к ( 5 ), используя модифицированный процесс исключения Гаусса–Жордана . Это надежная процедура, которая автоматически выбирает хороший набор резервных сил для обеспечения численной стабильности.

Из описанного выше процесса очевидно, что метод матричной жесткости легче понять и реализовать для автоматических вычислений. Его также легче расширить для расширенных приложений, таких как нелинейный анализ, устойчивость, вибрации и т. д. По этим причинам метод матричной жесткости является методом выбора для использования в пакетах программного обеспечения для структурного анализа общего назначения. С другой стороны, для линейных систем с низкой степенью статической неопределенности метод гибкости имеет то преимущество, что требует меньше вычислительных затрат. Однако это преимущество является спорным, поскольку персональные компьютеры широко доступны и более мощны. Главным положительным фактором при изучении этого метода в настоящее время является его образовательная ценность, заключающаяся в привитии концепций равновесия и совместимости в дополнение к его исторической ценности. Напротив, процедура метода прямой жесткости настолько механична, что существует риск ее использования без особого понимания поведения конструкции.

Верхние аргументы были действительны до конца 1990-х годов. Однако недавние достижения в области численных вычислений показали возвращение метода сил, особенно в случае нелинейных систем. Были разработаны новые основы, которые позволяют «точные» формулировки независимо от типа или природы нелинейностей системы. Основным преимуществом метода гибкости является то, что ошибка результата не зависит от дискретности модели и что это действительно очень быстрый метод. Например, упругопластическое решение непрерывной балки с использованием силового метода требует всего 4 элемента балки, тогда как коммерческий код FEM , основанный на жесткости , требует 500 элементов, чтобы дать результаты с той же точностью. В заключение можно сказать, что в случае, когда решение задачи требует рекурсивных оценок силового поля, как в случае структурной оптимизации или идентификации системы , эффективность метода гибкости неоспорима.

Смотрите также

• Метод конечных элементов в строительной механике
• Структурный анализ
• Метод жесткости

Рекомендации

1. «Метод Matrix Force» (PDF) . ЛЮСТ . Проверено 29 декабря 2012 г.

Внешние ссылки

• Последовательные деформации — силовой метод