В математике , точнее в топологии и дифференциальной геометрии , гиперболическое 3-многообразие — это многообразие размерности 3, снабженное гиперболической метрикой , то есть римановой метрикой , все секционные кривизны которой равны −1. Обычно требуется, чтобы эта метрика была также полной : в этом случае многообразие может быть реализовано как фактор трехмерного гиперболического пространства по дискретной группе изометрий ( клеиновой группе ).
Гиперболические 3-многообразия конечного объема имеют особое значение в 3-мерной топологии, как следует из гипотезы геометризации Терстона, доказанной Перельманом. Изучение клейновых групп также является важной темой геометрической теории групп .
Гиперболическая геометрия — самая богатая и наименее понятная из восьми геометрий размерности 3 (например, для всех остальных геометрий нетрудно дать явную нумерацию многообразий конечного объема с этой геометрией, а это далеко не так. случай гиперболических многообразий ). Таким образом, после доказательства гипотезы геометризации понимание топологических свойств гиперболических трехмерных многообразий становится основной целью трехмерной топологии. Недавние открытия Кана-Марковича, Уайза, Агола и других ответили на большинство давних открытых вопросов по этой теме, но есть еще много менее важных вопросов, которые не решены. [1]
В размерности 2 почти все замкнутые поверхности гиперболичны (все, кроме сферы, проективной плоскости, тора и бутылки Клейна). В размерности 3 это далеко не так: существует множество способов построить бесконечное количество негиперболических замкнутых многообразий. С другой стороны, эвристическое утверждение о том, что «общее 3-многообразие имеет тенденцию быть гиперболическим», подтверждается во многих контекстах. Например, любой узел, который не является ни узлом-спутником , ни узлом тора, является гиперболическим. [2] Более того, почти все операции Дена на гиперболическом узле приводят к гиперболическому многообразию. Аналогичный результат верен и для связей ( гиперболическая теорема Дена Терстона о перестройках), и поскольку все 3-многообразия получаются как операции на звене в 3-сфере, это придает более точный смысл неформальному утверждению. Другой смысл, в котором «почти все» многообразия являются гиперболическими в размерности 3, — это случайные модели. Например, случайные расщепления Хегора рода не менее 2 почти наверняка гиперболические (когда сложность отображения склейки стремится к бесконечности). [3]
Актуальность гиперболической геометрии 3-многообразия для его топологии также вытекает из теоремы о жесткости Мостоу , которая утверждает, что гиперболическая структура гиперболического 3-многообразия конечного объема однозначно определяется его гомотопическим типом. В частности, геометрический инвариант, такой как объем , может использоваться для определения новых топологических инвариантов.
В этом случае одним из важных инструментов для понимания геометрии многообразия является разложение «толстый-тонкий» . В нем говорится, что гиперболическое трехмерное многообразие конечного объема распадается на две части:
Разложение толстого на тонкое справедливо для всех гиперболических трехмерных многообразий, хотя в целом тонкая часть не такая, как описано выше. Гиперболическое 3-многообразие называется геометрически конечным , если оно содержит выпуклое подмногообразие (его выпуклое ядро ), на которое оно втягивается, и толстая часть которого компактна (обратите внимание, что все многообразия имеют выпуклое ядро, но, вообще говоря, оно не компактно). ). [4] Самый простой случай - это когда многообразие не имеет «каспов» (т.е. фундаментальная группа не содержит параболических элементов), и в этом случае многообразие геометрически конечно тогда и только тогда, когда оно является фактором замкнутого выпуклого подмножества. гиперболического пространства группой, действующей кокомпактно на этом подмножестве.
Это более широкий класс гиперболических 3-многообразий, для которых существует удовлетворительная структурная теория. Оно основано на двух теоремах:
Самая старая конструкция гиперболических многообразий, восходящая, по крайней мере, к Пуанкаре, выглядит следующим образом: начните с конечного набора трехмерных гиперболических конечных многогранников . Предположим, что между двумерными гранями этих многогранников существует спаривание сторон (т.е. каждая такая грань соединена с другой, отличной, так что они изометричны друг другу как двумерные гиперболические многоугольники), и рассмотрим пространство получается склейкой парных граней (формально это получается как факторпространство ) . Он несет в себе гиперболическую метрику, которая четко определена вне образа 1-скелетов многогранников. Эта метрика продолжается до гиперболической метрики на всем пространстве, если выполняются два следующих условия: [5]
Ярким примером этой конструкции является пространство Зейферта-Вебера , которое получается склейкой противоположных граней правильного додекаэдра .
Разновидностью этой конструкции является использование гиперболических многогранников Кокстера (многогранников, двугранные углы которых имеют вид ). Такой многогранник порождает клейновскую группу отражений , которая является дискретной подгруппой изометрий гиперболического пространства. Взяв подгруппу конечного индекса без кручения, получим гиперболическое многообразие (которое можно восстановить с помощью предыдущей конструкции, склеив копии исходного многогранника Кокстера способом, предписанным подходящим графом смежных классов Шрейера ).
В предыдущей конструкции полученные многообразия всегда компактны. Чтобы получить многообразия с точками возврата, необходимо использовать многогранники, имеющие идеальные вершины (т.е. вершины, лежащие на бесконечной сфере). В этом случае конструкция склейки не всегда дает полное многообразие. Полнота обнаруживается с помощью системы уравнений, включающих двугранные углы вокруг ребер, прилегающих к идеальной вершине, которые обычно называют уравнениями склейки Терстона. В случае завершения склейки идеальные вершины становятся точками возврата многообразия. Примером некомпактного гиперболического многообразия конечного объема, полученного таким способом, является многообразие Гизекинга , которое строится путем склейки граней правильного идеального гиперболического тетраэдра .
Также возможно построить полное гиперболическое многообразие конечного объема, когда склейка не завершена. В этом случае пополнением полученного метрического пространства является многообразие с краем тора и при некоторых (не общих) условиях можно на каждую компоненту края приклеить гиперболический полноторий так, чтобы полученное пространство имело полную гиперболическую метрику. Топологически многообразие получается гиперболической хирургией Дена на полном гиперболическом многообразии, которая возникает в результате полной склейки.
Неизвестно, можно ли построить таким образом все гиперболические 3-многообразия конечного объема. [6] Однако на практике именно так вычислительное программное обеспечение (такое как SnapPea или Retina ) хранит гиперболические многообразия. [7]
Построение арифметических клейновых групп из алгебр кватернионов приводит к особенно интересным гиперболическим многообразиям. С другой стороны, они в некотором смысле «редки» среди гиперболических 3-многообразий (например, гиперболическая хирургия Дена на фиксированном многообразии приводит к неарифметическому многообразию почти для всех параметров).
В отличие от явных конструкций, приведенных выше, можно вывести существование полной гиперболической структуры на трехмерном многообразии исключительно на основе топологической информации. Это следствие гипотезы геометризации, и его можно сформулировать следующим образом (утверждение, иногда называемое «теоремой гиперболизации», которое было доказано Терстоном в специальном случае многообразий Хакена):
Если компактное 3-многообразие с торической границей неприводимо и алгебраически тороидально (это означает, что каждый -инъективно погруженный тор гомотопен граничной компоненте), то его внутренность несет полную гиперболическую метрику конечного объема.
Частным случаем является случай поверхностного расслоения над окружностью : такие многообразия всегда неприводимы и несут полную гиперболическую метрику тогда и только тогда, когда монодромия является псевдоаносовским отображением .
Другое следствие гипотезы геометризации состоит в том, что любое замкнутое 3-многообразие, допускающее риманову метрику с отрицательной секционной кривизной, фактически допускает риманову метрику с постоянной секционной кривизной -1. Это не так в высших измерениях. [8]
Топологические свойства 3-многообразий настолько сложны, что во многих случаях интересно знать, что свойство выполняется практически для класса многообразий, то есть для любого многообразия в этом классе существует конечное накрытие многообразия со свойством . Виртуальные свойства гиперболических трехмерных многообразий являются объектом ряда гипотез Вальдхаузена и Терстона, которые недавно были доказаны Яном Аголом после работ Джереми Кана, Влада Марковича, Фредерика Хаглунда, Дэни Уайза и других. Первая часть гипотез была логически связана с практически гипотезой Хакена . В порядке силы это: [9]
Другая гипотеза (также доказанная Аголом), которая подразумевает 1-3 выше, но априори не имеет никакого отношения к 4, заключается в следующем:
Последовательность клейновых групп называется геометрически сходящейся, если она сходится в топологии Шаботи . Для многообразий, полученных как факторы, это означает их сходимость в указанной метрике Громова-Хаусдорфа .
Гиперболический объем можно использовать для упорядочения пространства всего гиперболического многообразия. Множество многообразий, соответствующих данному объему, не более чем конечно, а множество объемов вполне упорядочено и имеет порядок типа . Точнее, из гиперболической теоремы Дена Терстона о перестройке следует, что многообразие с точками возврата является пределом последовательности многообразий с точками возврата для любого , так что изолированные точки являются объемами компактных многообразий, многообразия с ровно одним каспом являются пределами компактных многообразий, и так далее. Вместе с результатами Йоргенсена теорема также доказывает, что любая сходящаяся последовательность должна быть получена операциями Дена на предельном многообразии. [10]
Последовательности квазифуксовых поверхностных групп данного рода могут сходиться к двукратно вырожденной поверхностной группе, как в двойной предельной теореме .
