Гипотеза Гана–Гросса–Прасада

В математике гипотеза Гана–Гросса–Прасада — это проблема ограничений в теории представлений вещественных или p-адических групп Ли, поставленная Ганом Ви Теком , Бенедиктом Гроссом и Дипендрой Прасадом . ^[1] Проблема возникла из гипотезы Гросса и Прасада для специальных ортогональных групп, но позднее была обобщена, чтобы включить все четыре классические группы . В рассматриваемых случаях известно, что кратность ограничений не превышает единицы ^{[2] [3] [4]} , а гипотеза описывает случай, когда кратность равна точно единице.

Мотивация

Мотивирующим примером является следующая классическая задача ветвления в теории компактных групп Ли . Пусть — неприводимое конечномерное представление компактной унитарной группы , и рассмотрим его ограничение на естественно вложенную подгруппу . Известно, что это ограничение не имеет кратности, но можно спросить, какие именно неприводимые представления входят в ограничение. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U(n-1)}$ ${\displaystyle U(n-1)}$

По теории Картана–Вейля наивысших весов существует классификация неприводимых представлений через их наивысшие веса , которые находятся в естественной биекции с последовательностями целых чисел . Теперь предположим, что имеет наивысший вес . Тогда неприводимое представление с наивысшим весом возникает в ограничении на (рассматриваемое как подгруппа ) тогда и только тогда, когда и являются переплетающимися, т.е. . ^[5] ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle {\underline {a}}=(a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\underline {a}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U(n-1)}$ ${\displaystyle {\underline {b}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U(n-1)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle {\underline {a}}}$ ${\displaystyle {\underline {b}}}$ ${\displaystyle a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n-1}\geq a_{n}}$

Гипотеза Гана–Гросса–Прасада затем рассматривает аналогичную проблему ограничения для других классических групп. ^[6]

Заявление

Гипотеза имеет несколько различные формы для разных классических групп. Формулировка для унитарных групп следующая.

Настраивать

Пусть — конечномерное векторное пространство над полем не характеристики , снабженное невырожденной полуторалинейной формой , которая является -эрмитовой (т.е. если форма эрмитова и если форма косоэрмитова). Пусть — невырожденное подпространство из такое, что и имеет размерность . Тогда пусть , где — унитарная группа, сохраняющая форму на , и пусть — диагональная подгруппа из . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =-1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=W\oplus W^{\perp }}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ ${\displaystyle (\varepsilon +1)/2}$ ${\displaystyle G=G(V)\times G(W)}$ ${\displaystyle G(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H=\Delta G(W)}$ ${\displaystyle G}$

Пусть будет неприводимым гладким представлением и пусть будет либо тривиальным представлением («случай Бесселя»), либо представлением Вейля («случай Фурье–Якоби»). Пусть будет общим L-параметром для , и пусть будет ассоциированным L-пакетом Вогана. ${\displaystyle \pi =\pi _{1}\boxtimes \pi _{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}}$ ${\displaystyle G=G(V)\times G(W)}$ ${\displaystyle \Pi _{\varphi }}$

Локальная гипотеза Гана–Гросса–Прасада

Если — локальный L-параметр для , то ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \sum _{{\text{relevant }}\pi \in \Pi _{\varphi }}\dim \operatorname {Hom} _{H}(\pi \otimes {\overline {\nu }},\mathbb {C} )=1.}$

Пусть будет «отличительным характером», определенным в терминах локальной константы Ленглендса–Делиня , тогда, кроме того, ${\displaystyle \eta _{\mathrm {GP} }}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{H}(\pi (\varphi ,\eta )\otimes {\overline {\nu }},\mathbb {C} )\neq 0{\text{ if and only if }}\eta =\eta _{\mathrm {GP} }.}$

Глобальная гипотеза Гана–Гросса–Прасада

Для квадратичного расширения поля пусть где — глобальная L-функция, полученная как произведение локальных L-факторов, заданных локальными гипотезами Ленглендса . Гипотеза утверждает, что следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle L_{E}(s,\pi _{1}\times \pi _{2}):=L_{E}(s,\pi _{1}\boxtimes \pi _{2},\mathrm {std} _{n}\boxtimes \mathrm {std} _{n-1})}$ ${\displaystyle L_{E}}$

1. Интервал периода не равен нулю, если он ограничен . ${\displaystyle P_{H}}$ ${\displaystyle \pi }$
2. Для всех мест локальное пространство Hom и . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{H(F_{v})}(\pi _{v},\nu _{v})\neq 0}$ ${\displaystyle L_{E}(1/2,\pi _{1}\times \pi _{2})\neq 0}$

Текущий статус

Локальная гипотеза Гана–Гросса–Прасада

В серии из четырех статей между 2010 и 2012 годами Жан-Лу Вальдспургер доказал локальную гипотезу Гана–Гросса–Прасада для умеренных представлений специальных ортогональных групп над p-адическими полями . ^{[7] [8] [9] [10]} В 2012 году Колетт Мёглин и Вальдспургер доказали локальную гипотезу Гана–Гросса–Прасада для общих неизмененных представлений специальных ортогональных групп над p-адическими полями. ^[11]

В своей диссертации 2013 года Рафаэль Бёзар-Плесси доказал локальную гипотезу Гана–Гросса–Прасада для умеренных представлений унитарных групп в p-адическом эрмитовом случае при тех же гипотезах, которые были необходимы для обоснования локальной гипотезы Ленглендса . ^[12]

Хунъюй Хэ доказал гипотезы Гана-Гросса-Прасада для дискретных серийных представлений действительной унитарной группы U(p,q). ^[13]

Глобальная гипотеза Гана–Гросса–Прасада

В серии статей между 2004 и 2009 годами Дэвид Гинзбург , Дихуа Цзян и Стивен Раллис показали, что (1) влечет (2) направление глобальной гипотезы Гана–Гросса–Прасада для всех квазирасщепляемых классических групп. ^{[14] [15] [16]}

В случае Бесселя глобальной гипотезы Гана–Гросса–Прасада для унитарных групп Вэй Чжан использовал теорию формулы относительного следа Эрве Жаке и работу над фундаментальной леммой Живэя Юня, чтобы доказать, что гипотеза верна при соблюдении определенных локальных условий в 2014 году. ^[17]

В случае Фурье–Якоби глобальной гипотезы Гана–Гросса–Прасада для унитарных групп Ифэн Лю и Хан Сюэ показали, что гипотеза верна в косоэрмитовом случае при соблюдении определенных локальных условий. ^{[18] [19]}

В случае Бесселя глобальной гипотезы Гана–Гросса–Прасада для специальных ортогональных групп и унитарных групп Дихуа Цзян и Лэй Чжан использовали теорию скрученных автоморфных спусков, чтобы доказать, что (1) влечет (2) в ее полной общности, т. е. для любого неприводимого каспидального автоморфного представления с общим глобальным параметром Артура, и что (2) влечет (1) при условии определенного глобального предположения. ^[20]

Ссылки

1. Ган, Ви Тек ; Гросс, Бенедикт Х.; Прасад , Дипендра (2012), «Симплектические локальные корневые числа, центральные критические L-значения и проблемы ограничений в теории представлений классических групп», Astérisque , 346 : 1–109, ISBN 978-2-85629-348-5, МР  3202556
2. Айзенбуд, Авраам; Гуревич, Дмитрий; Раллис, Стивен ; Шиффман, Жерар (2010), «Теоремы о кратности одного», Annals of Mathematics , 172 (2): 1407–1434, arXiv : 0709.4215 , doi : 10.4007/annals.2010.172.1413, MR  2680495
3. Сан, Биньонг (2012), «Теоремы кратности-единицы для моделей Фурье–Якоби», American Journal of Mathematics , 134 (6): 1655–1678, arXiv : 0903.1417 , doi : 10.1353/ajm.2012.0044
4. Сан, Биньонг ; Чжу, Чэнь-Бо (2012), «Теоремы о кратности-единице: случай Архимеда», Annals of Mathematics , 175 (1): 23–44, arXiv : 0903.1413 , doi : 10.4007/annals.2012.175.1.2 , MR  2874638
5. Вейль, Герман (1950), Теория групп и квантовая механика , Dover Publications
6. Ган, Ви Тек (2014), «Последний прогресс в гипотезе Гросса-Прасада», Acta Mathematica Vietnamica , 39 (1): 11–33, doi :10.1007/s40306-014-0047-2, ISSN  2315-4144, S2CID  256378802
7. Вальдспургер, Жан-Лу (2012), «Единая интегральная надежная формула в соответствии с региональной гипотезой Гросс-Прасада», Compositio Mathematica , 146 (5): 1180–1290, arXiv : 0902.1875 , doi : 10.1112/S0010437X100047 44
8. Вальдспургер, Жан-Лу (2012), «Интегральная надежная формула для местной гипотезы Гросс-Прасада, 2-я партия: расширение временных представлений»., Astérisque , 347 : 171–311
9. Вальдспургер, Жан-Лу (2012), «Laгипотеза о месте Гросс-Прасада для временных представлений ортогональных групп.», Astérisque , 347 : 103–166
10. Вальдспургер, Жан-Лу (2012), «Calcul d'une valeur d'un facteur epsilon par une formule intégrale»., Asterisque , 347
11. Моэглин, Колетт ; Вальдспургер, Жан-Лу (2012), «Локальная гипотеза Гросс-Прасада для ортогональных групп: le cas général», Asterisque , 347
12. Безар-Плесси, Рафаэль (2012), «Локальная гипотеза Гросс-Прасада для временных представлений унитарных групп», докторская диссертация
13. Хэ, Хонгю (2017), «О гипотезах Ган-Гросс-Прасада для U (p, q)», Inventiones Mathematicae , 209 (3): 837–884, arXiv : 1508.02032 , doi : 10.1007/s00222-017- 0720-х
14. Гинзбург, Дэвид ; Цзян, Дихуа ; Раллис, Стивен (2004), «О неисчезающем центральном значении L-функций Ранкина–Сельберга», Журнал Американского математического общества , 17 (3): 679–722, doi : 10.1090/S0894-0347-04-00455-2
15. Гинзбург, Дэвид ; Цзян, Дихуа ; Раллис, Стивен (2005), «О неисчезающем центральном значении L-функций Ранкина–Сельберга, II.», Автоморфные представления, L-функции и приложения: прогресс и перспективы , Берлин: Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ. 11, de Gruyter: 157–191, doi :10.1515/9783110892703.157, ISBN 978-3-11-017939-2
16. Гинзбург, Дэвид ; Цзян, Дихуа ; Раллис, Стивен (2009), «Модели для некоторых остаточных представлений унитарных групп. Автоморфные формы и L-функции I.», Global Aspects , Providence, RI: Contemp. Math., 488, Amer. Math. Soc.: 125–146
17. Чжан, Вэй (2014), «Преобразование Фурье и глобальная гипотеза Гана–Гросса–Прасада для унитарных групп». Annals of Mathematics , 180 (3): 971–1049, arXiv : 0903.1413 , doi : 10.4007/annals.2012.175.1.2 , MR  2874638
18. Лю, Ифэн (2014), «Формулы относительного следа для периодов Бесселя и Фурье–Якоби унитарных групп», Manuscripta Mathematica , 145 (1–2): 1–69, arXiv : 1012.4538 , doi : 10.1007/s00229-014-0666-x
19. Сюэ, Ханг (2014), «Гипотеза Гана–Гросса–Прасада для U(n) × U(n).», Успехи в математике , 262 : 1130–1191, doi :10.1016/j.aim.2014.06.010, MR  3228451
20. Цзян, Дихуа ; Чжан, Лэй (2020), «Параметры Артура и каспидальные автоморфные модули классических групп», Annals of Mathematics , 191 (3): 739–827, arXiv : 1508.03205 , doi : 10.4007/annals.2020.191.3.2