Гипотеза Гольдбаха

Гипотеза Гольдбаха — одна из старейших и самых известных нерешённых проблем в теории чисел и всей математике . Она утверждает, что каждое чётное натуральное число, большее 2, является суммой двух простых чисел .

Было показано, что гипотеза верна для всех целых чисел, меньших4 × 1018 ^, но остается недоказанным, несмотря на значительные усилия.

История

Происхождение

7 июня 1742 года прусский математик Христиан Гольдбах написал письмо Леонарду Эйлеру (письмо XLIII) ^[2] , в котором выдвинул следующую гипотезу:

dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum
Каждое целое число, которое можно записать в виде суммы двух простых чисел, можно также можно записать как сумму любого количества простых чисел, пока все члены не станут единицами.

Гольдбах следовал ныне заброшенному соглашению, согласно которому 1 является простым числом , ^[3] так что сумма единиц будет суммой простых чисел. Затем он предложил вторую гипотезу на полях своего письма, которая подразумевает первую: ^[4]

... eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
Каждое целое число больше 2 можно записать как сумму трёх простых чисел.

Эйлер ответил письмом от 30 июня 1742 года ^[5] и напомнил Гольдбаху об их более раннем разговоре (« ... so Ew vormals mit mir communicirt haben ... »), в котором Гольдбах заметил, что первая из этих двух гипотез следует из утверждения

Каждое положительное четное целое число можно записать в виде суммы двух простых чисел.

Это фактически эквивалентно его второй, маргинальной гипотезе. В письме от 30 июня 1742 года Эйлер заявил: ^[6]^[7]

Дасс ... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, останови их для своих ганц-гевисс-теорем, не управь их dasselbe nicht demostriren kann.
То, что... всякое четное целое число есть сумма двух простых чисел, я считаю вполне достоверной теоремой, хотя доказать ее не могу.

Частичные результаты

Сильная гипотеза Гольдбаха намного сложнее слабой гипотезы Гольдбаха , которая гласит, что каждое целое число (эквивалентно, каждое нечетное целое число), большее 5, является суммой трех простых чисел. Используя метод Виноградова , Николай Чудаков , ^[8] Иоганнес ван дер Корпут , ^[9] и Теодор Эстерманн ^[10] показали (1937–1938), что почти все четные числа можно записать в виде суммы двух простых чисел (в том смысле, что доля четных чисел до некоторого $N$ , которые можно так записать, стремится к 1 по мере увеличения $N$ ). В 1930 году Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число , большее 1, можно записать в виде суммы не более чем $C$ простых чисел, где $C$ — эффективно вычислимая константа; см. плотность Шнирельмана . ^[11]^[12] Константа Шнирельмана — это наименьшее число $C$ с этим свойством. Сам Шнирельман получил $C < 800 000.$ Этот результат впоследствии был улучшен многими авторами, такими как Оливье Рамаре , который в 1995 году показал, что каждое четное число $n \geq 4$ на самом деле является суммой не более 6 простых чисел. Самый известный результат в настоящее время вытекает из доказательства слабой гипотезы Гольдбаха Харальдом Хельфготтом ,^[13] из которого напрямую следует, что каждое четное число $n \geq 4$ является суммой не более 4 простых чисел.^[14]^[15]

В 1924 году Харди и Литтлвуд показали, исходя из обобщенной гипотезы Римана , что число четных чисел до $X,$ нарушающих гипотезу Гольдбаха, намного меньше, чем $X .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2 + c$ для малых $c$ . ^[16]

В 1948 году, используя методы теории решета , Альфред Реньи показал, что каждое достаточно большое четное число можно записать в виде суммы простого числа и почти простого числа с не более чем $K$ множителями. ^{[17] В 1973 году} Чэнь Цзинжунь показал, используя теорию решета, что каждое достаточно большое четное число можно записать в виде суммы либо двух простых чисел, либо простого числа и полупростого числа (произведения двух простых чисел). ^[18] Для получения дополнительной информации см. теорему Чэня .

В 1975 году Хью Лоуэлл Монтгомери и Боб Воган показали, что «большинство» четных чисел можно выразить как сумму двух простых чисел. Точнее, они показали, что существуют положительные константы $c$ и $C,$ такие, что для всех достаточно больших чисел $N$ каждое четное число, меньшее $N,$ является суммой двух простых чисел, с максимумом $CN 1 - c$ исключений. В частности, множество четных целых чисел, которые не являются суммой двух простых чисел, имеет нулевую плотность .

В 1951 году Юрий Линник доказал существование константы $K,$ такой что каждое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел и не более $K$ степеней двойки. Янош Пинц и Имре Ружа обнаружили в 2020 году, что $K = 8$ работает. ^[19] Если предположить обобщенную гипотезу Римана , $K = 7$ также работает, как показали Роджер Хит-Браун и Ян-Кристоф Шлаге-Пухта в 2002 году. ^[20]

Доказательство слабой гипотезы было представлено в 2013 году Харальдом Хельфготтом в серию Annals of Mathematics Studies . Хотя статья была принята, Хельфготт решил внести основные изменения, предложенные рецензентом. Несмотря на несколько исправлений, доказательство Хельфготта до сих пор не появилось в рецензируемой публикации. ^[21]^[22]^[23] Слабая гипотеза следует из сильной гипотезы, как если $n - 3$ является суммой двух простых чисел, то $n$ является суммой трех простых чисел. Однако обратная импликация и, следовательно, сильная гипотеза Гольдбаха останутся недоказанными, если доказательство Хельфготта верно.

Результаты вычислений

Для малых значений $n$ сильная гипотеза Гольдбаха (и, следовательно, слабая гипотеза Гольдбаха) может быть проверена напрямую. Например, в 1938 году Нильс Пиппинг кропотливо проверил гипотезу вплоть до $n = 100 000.$ ^[24] С появлением компьютеров было проверено гораздо больше значений $n$ ; Т. Оливейра и Силва провелираспределенный компьютерный поиск, который подтвердил гипотезу для $n \leq 4 \times 1018$ (и дважды проверено до4 × 10 ¹⁷ ) по состоянию на 2013 год. Одна из записей этого поиска заключается в том, что3 325 581 707 333 960 528 — наименьшее число, которое нельзя записать в виде суммы двух простых чисел, одно из которых меньше 9781. ^[25]

Калли-Хагилл и Дудек доказывают ^[26] (частичный и условный) результат гипотезы Римана: существует сумма двух нечетных простых чисел в интервале (x, x + 9696 log^2 x] для всех x ≥ 2.

В популярной культуре

Гипотеза Гольдбаха ( кит .哥德巴赫猜想) — название биографии китайского математика и специалиста по теории чисел Чэнь Цзинжуня , написанной Сюй Чи .

Гипотеза является центральным моментом в сюжете романа 1992 года « Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха» греческого автора Апостолоса Доксиадиса , в рассказе « Шестьдесят миллионов триллионов комбинаций » Айзека Азимова , а также в детективном романе 2008 года « Никто из вас не знаком » Мишель Ричмонд . ^[27]

Гипотеза Гольдбаха является частью сюжета испанского фильма 2007 года « Комната Ферма» .

Гипотеза Гольдбаха представлена как главная тема исследования персонажа актрисы Эллы Румпф Маргариты в франко-швейцарском фильме 2023 года «Теорема Маргариты» . ^[28]

Официальное заявление

Каждая из трех гипотез имеет естественный аналог в терминах современного определения простого числа, в котором исключается 1. Современная версия первой гипотезы такова:

Каждое целое число, которое можно записать в виде суммы двух простых чисел, можно также записать в виде суммы любого количества простых чисел, пока все члены не станут равными двум (если целое число четное), или пока один член не станет равным трем, а все остальные члены не станут равными двум (если целое число нечетное).

Современная версия маргинальной гипотезы такова:

Каждое целое число больше 5 можно записать в виде суммы трех простых чисел.

А современная версия старой гипотезы Гольдбаха, о которой ему напомнил Эйлер, такова:

Каждое четное целое число, большее 2, можно записать в виде суммы двух простых чисел.

Эти современные версии могут быть не полностью эквивалентны соответствующим исходным утверждениям. Например, если бы существовало четное целое число $N = p + 1$ больше 4, где $p —$ простое число, которое не может быть выражено как сумма двух простых чисел в современном смысле, то это был бы контрпример к современной версии третьей гипотезы (не будучи контрпримером к исходной версии). Таким образом, современная версия, вероятно, сильнее (но для того, чтобы подтвердить это, нужно было бы доказать, что первая версия, свободно примененная к любому положительному четному целому числу $n$ , не могла бы исключить существование такого конкретного контрпримера $N$ ). В любом случае, современные утверждения имеют те же отношения друг с другом, что и более старые утверждения. То есть второе и третье современные утверждения эквивалентны, и любое из них подразумевает первое современное утверждение.

Третье современное утверждение (эквивалентное второму) — это форма, в которой гипотеза обычно выражается сегодня. Она также известна как « сильная », «четная» или «бинарная» гипотеза Гольдбаха. Более слабая форма второго современного утверждения, известная как « слабая гипотеза Гольдбаха », «нечетная гипотеза Гольдбаха» или «троичная гипотеза Гольдбаха», утверждает, что

Каждое нечетное целое число, большее 7, можно записать в виде суммы трех нечетных простых чисел.

Эвристическое обоснование

Статистические соображения, сосредоточенные на вероятностном распределении простых чисел, представляют неформальные доказательства в пользу гипотезы (как в слабой, так и в сильной форме) для достаточно больших целых чисел: чем больше целое число, тем больше существует способов представить это число в виде суммы двух или трех других чисел, и тем более «вероятно», что по крайней мере одно из этих представлений состоит полностью из простых чисел.

Количество способов записать четное число $n$ в виде суммы двух простых чисел (последовательность A002375 в OEIS )

Очень грубая версия эвристического вероятностного аргумента (для сильной формы гипотезы Гольдбаха) выглядит следующим образом. Теорема о простых числах утверждает, что целое число $m,$ выбранное случайным образом, имеет примерно $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/лн м⁠$ шанс быть простым. Таким образом, если $n$ — большое четное целое число, а $m$ — число от 3 до $⁠$ $н / 2 ⁠$ , то можно было бы ожидать, что вероятность того, что $m$ и $n - m$ одновременно являются простыми числами, будет $⁠$ $1 / ln m ln(n - m) ⁠$ . Если следовать этой эвристике, можно ожидать, что общее количество способов записать большое четное целое число $n$ в виде суммы двух нечетных простых чисел будет примерно равно

\sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(нм)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.

Поскольку $ln n ≪ \sqrt n$ , эта величина стремится к бесконечности с ростом $n$ , и можно было бы ожидать, что каждое большое четное целое число имеет не только одно представление в виде суммы двух простых чисел, но на самом деле очень много таких представлений.

Этот эвристический аргумент на самом деле несколько неточен, поскольку он предполагает, что события $m$ и $n - m$ являются простыми числами статистически независимы друг от друга. Например, если $m$ нечетно, то $n - m$ также нечетно, а если $m$ четно, то $n - m$ также четно, нетривиальное отношение, поскольку, помимо числа 2, только нечетные числа могут быть простыми. Аналогично, если $n$ делится на 3, а $m$ уже было простым числом, отличным от 3, то $n - m$ также будет взаимно простым с 3 и, таким образом, будет немного более вероятно, что будет простым числом, чем общее число. Продолжая этот тип анализа более тщательно, Г. Х. Харди и Джон Эденсор Литтлвуд в 1923 году выдвинули гипотезу (как часть их гипотезы Харди–Литтлвуда о простых кортежах ), что для любого фиксированного $c \geq 2$ число представлений большого целого числа $n$ в виде суммы $c$ простых чисел $n = p 1 + \dots + p c$ с $p 1 \leq \dots \leq p c$ должно быть асимптотически равно

\left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},

где произведение берется по всем простым числам $p$ , а $γ c, p (n)$ — число решений уравнения $n = q 1 + \dots + q c mod p$ в модульной арифметике , с учетом ограничений $q 1, \dots, q c \neq 0 mod p$ . Эта формула была строго доказана как асимптотически верная для $c \geq 3$ из работы Ивана Матвеевича Виноградова , но все еще является лишь гипотезой, когда $c = 2.$ [ ^{необходима цитата ]} В последнем случае приведенная выше формула упрощается до 0, когда $n$ нечетно, и до

2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}

когда $n$ четно, где $Π 2$ — константа Харди–Литтлвуда, являющаяся простым числом-близнецом

\Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots

Иногда это называют расширенной гипотезой Гольдбаха . Сильная гипотеза Гольдбаха на самом деле очень похожа на гипотезу о простых числах-близнецах , и считается, что эти две гипотезы имеют примерно сопоставимую сложность.

Функция разбиения Гольдбаха — это функция, которая каждому четному целому числу ставит в соответствие количество способов, которыми оно может быть разложено на сумму двух простых чисел. Ее график похож на комету и поэтому называется кометой Гольдбаха . ^[29]

Комета Гольдбаха предполагает точные верхние и нижние границы количества представлений четного числа в виде суммы двух простых чисел, а также то, что количество этих представлений сильно зависит от значения числа по модулю 3.

Связанные проблемы

Хотя гипотеза Гольдбаха подразумевает, что каждое положительное целое число, большее единицы, может быть записано как сумма не более трех простых чисел, не всегда возможно найти такую сумму, используя жадный алгоритм , который использует наибольшее возможное простое число на каждом шаге. Последовательность Пиллаи отслеживает числа, требующие наибольшего количества простых чисел в их жадных представлениях. ^[30]

Существуют проблемы, аналогичные гипотезе Гольдбаха, в которых простые числа заменяются другими конкретными наборами чисел, такими как квадраты:

Лагранж доказал , что каждое положительное целое число является суммой четырех квадратов . См. задачу Варинга и связанную с ней задачу Варинга–Гольдбаха о суммах степеней простых чисел.
Харди и Литтлвуд выдвинули в качестве своей гипотезы I следующее утверждение: «Каждое большое нечетное число ( $n > 5$ ) является суммой простого числа и удвоенного простого числа». ^[31] Эта гипотеза известна как гипотеза Лемуана , а также называется гипотезой Леви .
Гипотеза Гольдбаха для практических чисел , последовательности целых чисел, подобной простым, была сформулирована Маргенштерном в 1984 году ^[32] и доказана Мелфи в 1996 году: ^[33] каждое четное число является суммой двух практических чисел.
Харви Дабнер предложил усиление гипотезы Гольдбаха, которое утверждает, что каждое четное целое число, большее 4208, является суммой двух простых чисел-близнецов (не обязательно принадлежащих одной паре). ^[34]^{[ необходим лучший источник ]} Только 34 четных целых числа, меньших 4208, не являются суммой двух простых чисел-близнецов; Дабнер вычислительно подтвердил, что этот список полон вплоть до ^[35]^[^{необходима проверка}^] Доказательство этой более сильной гипотезы не только подразумевало бы гипотезу Гольдбаха, но и гипотезу о простых числах-близнецах . $2\cdot 10^{10}.$
Согласно постулату Бертрана , для каждого целого числа всегда существует по крайней мере одно простое число, такое что Если бы постулат был ложным, то существовало бы некоторое целое число, для которого между и не лежало бы ни одного простого числа , что делало бы невозможным выражение в виде суммы двух простых чисел. $n>1$ $p$ $n<p<2n.$ $n$ $n$ $2n$ $2n$

Гипотеза Гольдбаха используется при изучении сложности вычислений. ^[36] Связь устанавливается через функцию Busy Beaver , где BB( n ) — максимальное число шагов, предпринимаемых любой машиной Тьюринга с n состояниями , которая останавливается. Существует машина Тьюринга с 27 состояниями, которая останавливается тогда и только тогда, когда гипотеза Гольдбаха ложна. Следовательно, если бы BB(27) было известно, а машина Гольдбаха не остановилась за это число шагов, было бы известно, что она работает вечно, и, следовательно, не существует контрпримеров (что доказывает истинность гипотезы). Это совершенно непрактичный способ доказать гипотезу; вместо этого он используется для предположения, что BB(27) будет очень трудно вычислить, по крайней мере, так же трудно, как доказать гипотезу Гольдбаха.

Ссылки

^ Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIème Siècle (Группа 1), Санкт-Петербург, 1843, стр. 125–129.
^ http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Гольдбаха». MathWorld .
↑ В печатной версии, опубликованной П. Х. Фуссом [1], в краевой гипотезе 2 ошибочно напечатано как 1.
^ http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
^ Ingham, AE "Popular Lectures" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2003-06-16 . Получено 2009-09-23 .
^ Колдуэлл, Крис (2008). "Гипотеза Гольдбаха" . Получено 13 августа 2008 г.
^ Чудаков, Николай Г. (1937). « О проблеме Гольдбаха». Доклады Академии наук СССР . 17 : 335–338.
^ Ван дер Корпут, JG (1938). «Сюр-л'гипотеза Гольдбаха» (PDF) . Учеб. Акад. Влажный. Амстердам (на французском языке). 41 : 76–80.
^ Эстерманн, Т. (1938). «О проблеме Гольдбаха: доказательство того, что почти все четные положительные целые числа являются суммами двух простых чисел». Proc. London Math. Soc . 2. 44 : 307–314. doi :10.1112/plms/s2-44.4.307.
↑ Шнирельман, Л. Г. (1930). «Об аддитивных свойствах чисел», впервые опубликовано в «Трудах Донского политехнического института в Новочеркасске», т. 14 (1930), стр. 3–27, и перепечатано в «Успехах математических наук», 1939, № 6, стр. 9–25.
^ Шнирельманн, LG (1933). Впервые опубликовано как «Über аддитивные Eigenschaften von Zahlen» в « Mathematische Annalen » (на немецком языке), vol. 107 (1933), 649–690 и перепечатано как «Об аддитивных свойствах чисел» в «Успехах математических наук», 1940, вып. 7, 7–46.
^ Хельфготт, HA (2013). «Тернарная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv : 1312.7748 [math.NT].
^ Синисало, Матти К. (октябрь 1993 г.). «Проверка гипотезы Гольдбаха до 4 ⋅ 1011» (PDF) . Математика вычислений . 61 (204). Американское математическое общество: 931–934. CiteSeerX 10.1.1.364.3111 . doi :10.2307/2153264. JSTOR 2153264.
^ Rassias, M. Th. (2017). Проблема Гольдбаха: Избранные темы . Springer.
^ См., например, Новая явная формула в аддитивной теории простых чисел с приложениями I. Явная формула для проблемы Гольдбаха и обобщенной проблемы простых чисел-близнецов Яноша Пинца.
^ Реньи, А.А. (1948). «О представлении четного числа в виде суммы простого и почти простого». Известия Академии наук СССР Серия Математическая (на русском языке). 12 : 57–78.
^ Чен, Дж. Р. (1973). «О представлении большего четного целого числа в виде суммы простого числа и произведения не более двух простых чисел». Sci. Sinica . 16 : 157–176.
^ Пинц, Дж .; Ружа, ИЗ (01.08.2020). «О приближении Линника к задаче Гольдбаха. II». Acta Mathematica Hungarica . 161 (2): 569–582. дои : 10.1007/s10474-020-01077-8. ISSN 1588-2632. S2CID 54613256.
^ Хит-Браун, DR; Пухта, JC (2002). «Целые числа, представленные в виде суммы простых чисел и степеней двух». Asian Journal of Mathematics . 6 (3): 535–565. arXiv : math.NT/0201299 . Bibcode : 2002math......1299H. doi : 10.4310/AJM.2002.v6.n3.a7. S2CID 2843509.
^ Хельфготт, HA (2013). «Основные дуги для теоремы Гольдбаха». arXiv : 1305.2897 [math.NT].
^ Хельфготт, HA (2012). «Меньшие дуги для проблемы Гольдбаха». arXiv : 1205.5252 [math.NT].
^ "Харальд Андрес Хелфготт". Институт математики де Жюсье-Париж Рив Гош . Проверено 06 апреля 2021 г.
^ Пиппинг, Нильс (1890–1982), «Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz». Акта Акад. Абоенсис, Матем. Физ. 11, 4–25, 1938.
^ Томас Оливейра и Силва, Проверка гипотезы Гольдбаха. Проверено 20 апреля 2024 г.
^ Микаэла Калли-Хагилл и Адриан В. Дудек, Явная оценка среднего значения для PNT в интервалах
^ "MathFiction: Никто из тех, кого вы знаете (Мишель Ричмонд)". kasmana.people.cofc.edu .
^ Одиль Морен Ле Теорема де Маргарита, во Францииinfo:cultural
^ Флигель, Генри Ф.; Робертсон, Дуглас С. (1989). «Комета Гольдбаха: числа, связанные с гипотезой Гольдбаха». Журнал занимательной математики . 21 (1): 1–7.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A066352 (последовательность Пиллаи)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
↑ Математический журнал , 66:1 (1993): 45–47.
^ Маргенштерн, М. (1984). «Результаты и предположения о практических числах». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 299 : 895–898.
^ Мелфи, Г. (1996). «О двух гипотезах о практических числах». Журнал теории чисел . 56 : 205–210. doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .
^ "ГИПОТЕЗЫ О ПРОСТЫХ БЛИЗНЕЦАХ" (PDF) . oeis.org .
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A007534 (Четные числа, которые не являются суммой пары простых чисел-близнецов)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ «Как самые медленные компьютерные программы проливают свет на фундаментальные ограничения математики».

Дальнейшее чтение

Deshouillers, J.-M.; Effinger, G.; te Riele, H.; Zinoviev, D. (1997). "Полная теорема Виноградова о 3-простых числах при гипотезе Римана" (PDF) . Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society . 3 (15): 99–104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 .
Монтгомери, HL; Воган, RC (1975). «Исключительное множество в проблеме Гольдбаха» (PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353–370. doi : 10.4064/aa-27-1-353-370 .
Теренс Тао доказал, что все нечетные числа представляют собой не более чем сумму пяти простых чисел.
Гипотеза Гольдбаха на MathWorld .

Внешние ссылки

Медиа, связанные с гипотезой Гольдбаха на Wikimedia Commons
«Проблема Гольдбаха», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Оригинал письма Гольдбаха Эйлеру — формат PDF (на немецком и латинском языках)
Гипотеза Гольдбаха, часть книги Криса Колдуэлла «Первые страницы» .
Проверка гипотезы Гольдбаха, распределенный компьютерный поиск Томаса Оливейры и Сильвы.