Гипотеза Ибрагимова–Иосифеску для φ-перемешивающих последовательностей

Общее название для двух тесно связанных гипотез в теории вероятностей.

Гипотеза Ибрагимова–Иосифеску для φ-перемешивающих последовательностей в теории вероятностей — это общее название для двух тесно связанных гипотез Ильдара Ибрагимова и ro:Marius Iosifescu.

Догадка

Пусть — строго стационарная -перемешивающая последовательность, для которой и . Тогда имеет асимптотически нормальное распределение. ${\displaystyle (X_{n},n\in {\mathbb {N}})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{0}^{2})<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{n})\to +\infty }$ ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$

${\displaystyle \phi }$Коэффициенты смешивания определяются как , где и являются -алгебрами, порожденными (соответственно ), а -смешивание означает, что . ${\displaystyle \phi _{X}(n):=\sup(|\mu (B\mid A)-\mu (B)|,A\in {\mathcal {F}}^{m},B\in {\mathcal {F}}_{m+n},m\in {\mathbb {N}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{m+n}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X_{j},j\leqslant m}$ ${\displaystyle j\geqslant m+n}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{X}(n)\to 0}$

Переформулировано:

Предположим, что есть строго стационарная последовательность случайных величин такая, что и при (то есть такая, что она имеет конечные вторые моменты и при ). ${\displaystyle X:=(X_{k},k\in {\mathbf {Z} })}$ ${\displaystyle EX_{0}=0,\ EX_{0}^{2}<\infty }$ ${\displaystyle ES_{n}^{2}\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{1}+\ldots +X_{n})\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty }$

По Ибрагимову, при этих предположениях, если также является -смешиванием, то центральная предельная теорема имеет место. По близкой гипотезе Иосифеску, при той же гипотезе, имеет место слабый принцип инвариантности. Обе гипотезы вместе сформулированы в схожих терминах: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$

Пусть будет строго стационарной, центрированной, -перемешивающей последовательностью случайных величин такой, что и . Тогда по Ибрагимову , и по Иосифеску . Кроме того, связанная гипотеза Магды Пелиград утверждает, что при тех же условиях и с , . ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle EX_{1}^{2}<\infty }$ ${\displaystyle \sigma _{n}^{2}\to \infty }$ ${\displaystyle S_{n}/\sigma _{n}{\overset {W}{\to }}N(0,1)}$ ${\displaystyle S_{[n1]}/\sigma _{n}{\overset {W}{\to }}W}$ ${\displaystyle \phi _{1}<1}$ ${\displaystyle {\overset {\sim }{W}}_{n}{\overset {W}{\to }}W}$

Источники

• И. А. Ибрагимов и Ю. В. Линник , Независимые и стационарные последовательности случайных величин, Wolters-Noordhoff, Гронинген , 1971, стр. 393, задача 3.
• М. Иосифеску, Предельные теоремы для ϕ-перемешивающих последовательностей, обзор. В: Труды Пятой конференции по теории вероятностей, Брашов , 1974, стр. 51-57. Издательство Румынской академии, Бухарест , 1977.
• Пелиград, Магда (август 1990 г.). «О гипотезе Ибрагимова–Иосифеску для последовательностей φ-смешивания». Стохастические процессы и их приложения . 35 (2): 293–308. doi :10.1016/0304-4149(90)90008-G.