Гипотеза Лежандра

Между любыми двумя квадратными числами есть простое число

Гипотеза Лежандра , предложенная Адрианом-Мари Лежандром , утверждает, что между и для каждого положительного целого числа существует простое число . Эта гипотеза представляет собой одну из задач Ландау (1912 г.) о простых числах; по состоянию на 2023 год эта гипотеза не была ни доказана , ни опровергнута . ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n}$^{[обновлять]}

Нерешенная задача по математике :

Всегда ли существует хотя бы одно простое число между и ? ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$

(еще нерешенные задачи по математике)

Основные гэпы

Если гипотеза Лежандра верна, разрыв между любым простым числом p и следующим по величине простым числом будет равен , как это выражается в обозначении большого О. ^[a] Это один из семейства результатов и гипотез, связанных с пробелами между простыми числами , то есть с расстоянием между простыми числами. Другие включают постулат Бертрана о существовании простого числа между и , гипотезу Оппермана о существовании простых чисел между , , и , гипотезу Андрики и гипотезу Брокара о существовании простых чисел между квадратами последовательных простых чисел, а также гипотезу Крамера о том, что пробелы всегда гораздо меньше, порядка . Если гипотеза Крамера верна, то гипотеза Лежандра будет следовать для всех достаточно больших n . Харальд Крамер также доказал, что гипотеза Римана предполагает более слабую оценку размера наибольших простых пробелов. ^[1] ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\,)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle (\log p)^{2}}$ ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$

График количества простых чисел между n ² и ( n + 1) ² OEIS : A014085

По теореме о простых числах ожидаемое количество простых чисел между и составляет приблизительно , ​​и дополнительно известно, что почти для всех интервалов этой формы фактическое количество простых чисел ( OEIS : A014085 ) асимптотично этому ожидаемому числу. ^[2] Поскольку это число велико для big , это подтверждает гипотезу Лежандра. ^[3] Известно, что теорема о простых числах дает точный подсчет простых чисел в пределах коротких интервалов, либо безоговорочно ^[4] , либо на основе гипотезы Римана , ^[5] , но длины интервалов, для которых это было доказано, равны длиннее, чем интервалы между последовательными квадратами, и слишком велики, чтобы доказать гипотезу Лежандра. ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n/\ln n}$ ${\displaystyle n}$

Частичные результаты

Из результата Ингэма следует , что для всех достаточно больших , существует простое число между последовательными кубами и . ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle (n+1)^{3}}$

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число для всех больших . ^[7] ${\displaystyle [x-x^{21/40},\,x]}$ ${\displaystyle x}$

Таблица максимальных простых пробелов показывает, что гипотеза верна по крайней мере , что означает . ^[8] ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$ ${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$

Примечания

1. Это следствие того факта, что разница между двумя последовательными квадратами имеет порядок их квадратных корней .

Рекомендации

1. Стюарт, Ян (2013), Видения бесконечности: великие математические проблемы, Basic Books, стр. 164, ISBN 9780465022403.
2. Баззанелла, Данило (2000), «Простые числа между последовательными квадратами» (PDF) , Archiv der Mathematik , 75 (1): 29–34, doi : 10.1007/s000130050469, MR  1764888, S2CID  16332859
3. Фрэнсис, Ричард Л. (февраль 2004 г.), «Между последовательными квадратами», Миссурийский журнал математических наук , Университет Центрального Миссури, факультет математики и информатики, 16 (1): 51–57, doi : 10.35834/2004/ 1601051; см. стр. 52: «Кажется сомнительным, что это сверхобилие простых чисел можно сгруппировать таким образом, чтобы избежать появления хотя бы одного раза между последовательными квадратами».
4. Хит-Браун, Д.Р. (1988), «Число простых чисел в коротком интервале» (PDF) , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1988 (389): 22–63, doi : 10.1515/crll.1988.389.22 , МР  0953665, S2CID  118979018
5. Сельберг, Атле (1943), «О нормальной плотности простых чисел в небольших интервалах и разнице между последовательными простыми числами», Archiv for Mathematik og Naturvidenskab , 47 (6): 87–105, MR  0012624
6. ОЭИС : A060199
7. Бейкер, RC; Харман, Г.; Пинц, Дж. (2001), «Разница между последовательными простыми числами, II» (PDF) , Proceedings of the London Mathematical Society , 83 (3): 532–562, doi : 10.1112/plms/83.3.532, S2CID  8964027
8. Оливейра и Силва, Томас; Херцог, Зигфрид; Парди, Сильвио (2014), «Эмпирическая проверка гипотезы о четности Гольдбаха и вычисление пробелов в простых числах до 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}}» (PDF ) , Mathematics of Computation , 83 (288 ): 2033–2060, doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 , MR  3194140.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Гипотеза Лежандра», MathWorld