Гипотеза Леопольда

В алгебраической теории чисел гипотеза Леопольдта , выдвинутая Х.-В. Леопольдтом  (1962, 1975), утверждает, что p-адический регулятор числового поля не обращается в нуль. P-адический регулятор является аналогом обычного регулятора, определяемого с использованием p-адических логарифмов вместо обычных логарифмов, введенных Х.-В. Леопольдтом  (1962).

Формулировка

Пусть K — числовое поле , и для каждого простого числа P из K, превышающего некоторое фиксированное рациональное простое число p , пусть U _P обозначает локальные единицы в P , а U _{1, P} обозначает подгруппу главных единиц в U _P. Задайте

${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}$

Тогда пусть E ₁ обозначает множество глобальных единиц ε , которые отображаются в U ₁ посредством диагонального вложения глобальных единиц в  E .

Так как является конечно- индексной подгруппой глобальных единиц, то это абелева группа ранга , где - число действительных вложений и число пар комплексных вложений. Гипотеза Леопольдта утверждает, что -модульный ранг замыкания вложенного диагонально в также ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}-1}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}-1.}$

Гипотеза Леопольдта известна в частном случае, когда является абелевой надстройкой или абелевой надстройкой мнимого квадратичного числового поля : Ax (1965) свел абелев случай к p-адической версии теоремы Бейкера , которая была вскоре доказана Brumer (1967). Mihăilescu  (2009, 2011) объявил о доказательстве гипотезы Леопольдта для всех CM-расширений . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Колмез  (1988) выразил остаток p -адической дзета-функции Дедекинда полностью вещественного поля при s =  1 в терминах p -адического регулятора. Как следствие, гипотеза Леопольдта для этих полей эквивалентна их p -адическим дзета-функциям Дедекинда, имеющим простой полюс при s  = 1.

Ссылки

• Акс, Джеймс (1965), «О единицах алгебраического числового поля», Illinois Journal of Mathematics , 9 (4): 584–589, doi : 10.1215/ijm/1256059299 , ISSN  0019-2082, MR  0181630, Zbl  0132.28303
• Брумер, Арманд (1967), «О единицах полей алгебраических чисел», Mathematika , 14 (2): 121–124, doi :10.1112/S0025579300003703, ISSN  0025-5793, MR  0220694, Zbl  0171.01105
• Кольмез, Пьер (1988), «Résidu en s=1 des fonctions zêta p-adiques», Inventiones Mathematicae , 91 (2): 371–389, Bibcode : 1988InMat..91..371C, doi : 10.1007/BF01389373, ISSN  0020-9910, МР  0922806, S2CID  118434651, Збл  0651.12010
• Колстер, М. (2001) [1994], "Гипотеза Леопольда", Энциклопедия математики , EMS Press
• Леопольдт, Генрих-Вольфганг (1962), «Zur Arithmetik in abelschen Zahlkörpern», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1962 (209): 54–71, doi : 10.1515/crll.1962.209.54, ISSN  0075-4102, MR  0139602, S2CID  117123955, Збл  0204.07101
• Леопольдт, HW (1975), «Eine p-adische Theorie der Zetawerte II», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1975 (274/275): 224–239, doi :10.1515/crll.1975.274-275.224, S2CID  118013793, Збл  0309.12009.
• Михайлеску, Преда (2009), Компоненты T и T* Λ-модулей и гипотеза Леопольда , arXiv : 0905.1274 , Bibcode : 2009arXiv0905.1274M
• Михайлеску, Преда (2011), Гипотеза Леопольдта для полей CM , arXiv : 1105.4544 , Bibcode : 2011arXiv1105.4544M
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323 (второе изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN. 978-3-540-37888-4, MR  2392026, Zbl  1136.11001
• Вашингтон, Лоуренс С. (1997), Введение в циклотомические поля (второе издание), Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-94762-0, ЗБЛ  0966.11047.