В теории множеств гипотеза сингулярных кардиналов (SCH) возникла из вопроса о том, может ли наименьшее кардинальное число , для которого обобщенная континуум-гипотеза (GCH) может оказаться недействительной, быть сингулярным кардиналом .
По мнению Митчелла (1992), гипотеза единичных кардиналов выглядит следующим образом:
Здесь κ + обозначает последующий кардинал κ .
Поскольку SCH является следствием GCH, который, как известно, согласуется с ZFC , SCH согласуется с ZFC. Было показано, что отрицание SCH также согласуется с ZFC, если предположить существование достаточно большого кардинального числа. Фактически, по результатам Моти Гитика , ZFC + ¬SCH равносогласовано с ZFC + существованием измеримого кардинального числа κ порядка Митчелла κ ++ .
Другой формой SCH является следующее утверждение:
где cf обозначает функцию конфинальности . Обратите внимание, что κ cf( κ ) = 2 κ для всех сингулярных сильных предельных кардиналов κ . Вторая формулировка SCH строго сильнее первой версии, поскольку первая упоминает только сильные пределы. Из модели , в которой первая версия SCH терпит неудачу при ℵ ω и GCH выполняется выше ℵ ω+2 , мы можем построить модель, в которой первая версия SCH верна, но вторая версия SCH терпит неудачу, добавив ℵ ω подмножеств Коэна к ℵ n для некоторого n .
Джек Сильвер доказал, что если κ является сингулярным с несчетной конфинальностью и 2 λ = λ + для всех бесконечных кардиналов λ < κ , то 2 κ = κ + . Первоначальное доказательство Сильвера использовало обобщенные ультрастепени. Следующий важный факт следует из теоремы Сильвера: если гипотеза сингулярных кардиналов верна для всех сингулярных кардиналов счетной конфинальности, то она верна для всех сингулярных кардиналов. В частности, тогда, если — наименьший контрпример к гипотезе сингулярных кардиналов, то .
Отрицание гипотезы сингулярных кардиналов тесно связано с нарушением GCH в измеримом кардинале. Известный результат Даны Скотт заключается в том, что если GCH выполняется ниже измеримого кардинала на множестве меры один, т. е. существует нормальный -полный ультрафильтр D на такой, что , то . Начиная с суперкомпактного кардинала , Сильвер смог создать модель теории множеств, в которой является измеримым и в которой . Затем, применяя форсинг Прикри к измеримому , можно получить модель теории множеств, в которой является сильным предельным кардиналом счетной конфинальности и в которой —нарушение SCH. Гитик , опираясь на работу Вудина , смог заменить суперкомпакт в доказательстве Сильвера на измеримый порядка Митчелла . Это установило верхнюю границу для силы согласованности отказа SCH. Гитик снова, используя результаты теории внутренних моделей , смог показать, что измеримый кардинал порядка Митчелла также является нижней границей для прочности согласованности отказа SCH.
Широкий спектр предложений подразумевает SCH. Как было отмечено выше, GCH подразумевает SCH. С другой стороны, надлежащая аксиома форсинга , которая подразумевает и, следовательно, несовместима с GCH, также подразумевает SCH. Соловей показал, что большие кардиналы почти подразумевают SCH — в частности, если является сильно компактным кардиналом , то SCH выполняется выше . С другой стороны, несуществование (внутренних моделей для) различных больших кардиналов (ниже измеримого кардинала порядка Митчелла ) также подразумевает SCH.
