гипотеза Манина

Нерешенная проблема в теории чисел

Рациональные точки ограниченной высоты вне 27 прямых на диагональной кубической поверхности Клебша .

В математике гипотеза Манина описывает предполагаемое распределение рациональных точек на алгебраическом многообразии относительно подходящей функции высоты . Она была предложена Юрием И. Маниным и его коллегами ^[1] в 1989 году, когда они инициировали программу с целью описания распределения рациональных точек на подходящих алгебраических многообразиях.

Догадка

Их основная гипотеза такова. Пусть — многообразие Фано, определенное над числовым полем , пусть — функция высоты, которая относится к антиканоническому дивизору , и предположим, что является плотным по Зарисскому в . Тогда существует непустое открытое подмножество Зарисского , такое что функция подсчета -рациональных точек ограниченной высоты, определяемая как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V(K)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle N_{U,H}(B)=\#\{x\in U(K):H(x)\leq B\}}$

для , удовлетворяет ${\displaystyle B\geq 1}$

${\displaystyle N_{U,H}(B)\sim cB(\log B)^{\rho -1},}$

как Здесь — ранг группы Пикара , а — положительная константа, которая позже получила предположительную интерпретацию Пейра. ^[2] ${\displaystyle B\to \infty .}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c}$

Гипотеза Манина была решена для специальных семейств многообразий ^[3] , но в целом остается открытой.

Ссылки

1. Франке, Дж.; Манин, Й.И .; Чинкель, Й. (1989). «Рациональные точки ограниченной высоты на многообразиях Фано». Inventiones Mathematicae . 95 (2): 421–435. doi :10.1007/bf01393904. MR  0974910. Zbl  0674.14012.
2. Пейр, Э. (1995). «Высокие и средние размеры Тамагавы среди сортов Фано». Математический журнал Дьюка . 79 (1): 101–218. дои : 10.1215/S0012-7094-95-07904-6. МР  1340296. Збл  0901.14025.
3. Browning, TD (2007). "Обзор гипотезы Манина для поверхностей дель Пеццо". В Duke, William (ред.). Аналитическая теория чисел. Дань уважения Гауссу и Дирихле. Труды конференции Гаусса-Дирихле, Гёттинген, Германия, 20–24 июня 2005 г. Clay Mathematics Proceedings. Том 7. Providence, RI: American Mathematical Society . стр. 39–55. ISBN 978-0-8218-4307-9. MR  2362193. Zbl  1134.14017.