Гомотетия: пример: для одного получается тождество (ни одна точка не перемещается), для увеличения для сокращения . Пример: For one получает точечное отражение в точке Гомотетия пирамиды
В математике гомотетия (или гомотеция , или однородное расширение ) — это преобразование аффинного пространства , определяемого точкой S , называемой ее центром , и ненулевым числом , называемым ее отношением , которое переводит точку в точку по правилу [1 ]
поскольку каждый получает отображение идентичности ,
ибо можно получить отражение в центре,
Ибо получается обратное отображение, определяемое .
В евклидовой геометрии гомотети — это подобия , которые фиксируют точку и либо сохраняют (если ), либо меняют (если ) направление всех векторов. Вместе с трансляциями все гомотетии аффинного (или евклидова) пространства образуют группу — группу дилатаций или гомотетий-трансляций . Это именно аффинные преобразования , обладающие тем свойством, что образ каждой прямой g является линией , параллельной g .
В проективной геометрии гомотетическое преобразование — это преобразование подобия (т. е. фиксирует заданную эллиптическую инволюцию), которое оставляет линию на бесконечности поточечно инвариантной . [2]
В евклидовой геометрии гомотетия отношения умножает расстояния между точками на , площади на и объемы на . Вот коэффициент увеличения или коэффициент расширения , или масштабный коэффициент , или коэффициент подобия . Такое преобразование можно назвать расширением, если масштабный коэффициент превышает 1. Упомянутая выше неподвижная точка S называется центром подобия , центром подобия или центром подобия .
Термин, придуманный французским математиком Мишелем Шалем , происходит от двух греческих элементов: приставки гомо- ( όμο ), означающей «подобный», и тезиса ( Θέσις ), означающей «положение». Он описывает отношения между двумя фигурами одинаковой формы и ориентации. Например, две русские куклы , смотрящие в одну сторону, можно считать гомотетичными.
Гомотетии используются для масштабирования содержимого экранов компьютеров; например, смартфоны, ноутбуки и ноутбуки.
Характеристики
Следующие свойства сохраняются в любом измерении.
Отображение линий, сегментов линий и углов
Гомотетия обладает следующими свойствами:
Линия отображается на параллельную линию . Следовательно: углы остаются неизменными.
Вывод свойств:
Для облегчения вычислений предполагается, что центром является начало координат: . Линия с параметрическим представлением отображается на набор точек с уравнением , который является линией, параллельной .
Расстояние двух точек – это и расстояние между их изображениями. Следовательно, соотношение (частное) двух отрезков остается неизменным.
В случае расчета аналогичный, но немного расширенный.
Последствия: Треугольник отображается на подобный . Однородным образом круга является круг. Изображение эллипса аналогично . т.е. соотношение двух осей не меняется.
Если для гомотетии с центром задан образ точки (см. схему), то образ второй точки , лежащей не на прямой, можно построить графически с помощью теоремы о пересечении: является общей точкой двух прямых и . Изображение точки, коллинеарной с, можно определить с помощью .
ПантографГеометрический фонПантограф 3d рендеринг
с помощью пантографа
До того, как компьютеры стали повсеместными, масштабирование рисунков выполнялось с помощью пантографа — инструмента, похожего на компас .
Строительная и геометрическая основа:
Возьмите 4 стержня и соберите подвижный параллелограмм с вершинами так, чтобы два стержня, сходящиеся в точке, были продолжены на другом конце, как показано на схеме. Выберите соотношение .
На удлиненных стержнях отметьте две точки такие, что и . Это тот случай, если (Вместо расположения центра можно указать соотношение. В этом случае соотношение .)
Прикрепите подвижные стержни с возможностью вращения в точке .
Меняйте расположение точки и отметки в каждый момент времени .
Благодаря (см. диаграмму) из теоремы о пересечении получается , что точки коллинеарны (лежат на прямой) и уравнение выполняется. Это показывает: отображение является гомотетией с центром и соотношением .
Состав
Композиция двух гомотетий с отображением центров и отношений снова является гомотетией, центр которой находится на одной линии с соотношением .
Композиция двух гомотетий с одним и тем же центром снова является гомотетией с центром . Гомотетии с центром образуют группу .
Состав двух гомотетий с разными центрами и их соотношениями равен
в случае гомотетии с центром на прямой и соотношением или
в случае перевода в направлении . Особенно, если ( точечные отражения ).
Вывод:
Для композиции двух гомотетий с центрами с
расчетом для изображения точки получаем :
.
Следовательно, композиция
в случае перевода в направлении по вектору .
в случае точки
является фиксированной точкой (не перемещается) и композиция
.
является гомотетией с центром и соотношением . лежит на линии .
Сочинение с переводом
Соединение гомотети и перевода есть гомотетия.
Вывод:
Состав гомотетии
и перевод
является
что является гомотетией с центром и соотношением .
В однородных координатах
Гомотетию
с центром можно записать как композицию гомотетии с центром и перевода: