В низкоразмерной топологии гранично -несжимаемая поверхность — это двумерная поверхность внутри трехмерного многообразия , топологию которой нельзя упростить с помощью определенного типа операции, известной как граничное сжатие .
Предположим, что M — 3-многообразие с границей . Предположим также, что S — компактная поверхность с границей, которая надлежащим образом вложена в M , что означает, что граница S является подмножеством границы M , а внутренние точки S являются подмножеством внутренних точек M . Диск, сжимающий границу для S в M , определяется как диск D в M , такой что и являются дугами в , причем , , и является существенной дугой в S ( не сограничивает диск в S с другой дугой в ).
Поверхность S называется гранично-сжимаемой, если либо S является диском, ограничивающим шар с диском в , либо существует гранично-сжимающий диск для S в M. В противном случае S является гранично-несжимаемой .
В качестве альтернативы можно ослабить это определение, отказавшись от требования, чтобы поверхность была правильно вложена. Предположим теперь, что S — компактная поверхность (с границей), вложенная в границу 3-многообразия M . Предположим далее, что D — правильно вложенный диск в M такой, что D пересекает S по существенной дуге (той, которая не сограничивает диск в S с другой дугой в ). Тогда D называется гранично-сжимающим диском для S в M . Как и выше, S называется гранично-сжимаемым, если либо S является диском в , либо существует гранично-сжимающий диск для S в M . В противном случае S является гранично-несжимаемым.
Например, если K — трилистник, вложенный в границу полнотора V , а S — замыкание малой кольцевой окрестности K в , то S не вложен должным образом в V , поскольку внутренность S не содержится во внутренности V . Однако S вложен в , и не существует сжимающего границу диска для S в V , поэтому S является гранично-несжимаемым по второму определению.
