Группа диэдра 6-го порядка

Некоммутативная группа из 6 элементов

Граф Кэли с перестановками треугольника

Граф циклов с матрицами перестановок из трех элементов
(генераторы a и b такие же, как в графе Кэли, показанном выше).

Таблица Кэли как таблица умножения матриц перестановок

Положения шести элементов в таблице Кэли.
Только нейтральные элементы симметричны главной диагонали, поэтому эта группа не является абелевой .

Таблица Кэли как общая (и специальная ) линейная группа GL(2, 2)

В математике D ₃ ( иногда обозначаемая как D 6 ₎ представляет собой группу диэдра степени 3 и порядка 6. Она равна симметричной группе S ₃ . Это также наименьшая неабелева группа . ^[1]

На этой странице показано множество концепций групп на примере этой группы.

Группы симметрии

Группа диэдра D ₃ — это группа симметрии равностороннего треугольника , то есть это совокупность всех преобразований, таких как отражение, вращение и их комбинации, которые оставляют форму и положение этого треугольника фиксированными. В случае D ₃ любая возможная перестановка вершин треугольника представляет собой такое преобразование, так что группа этих симметрий изоморфна симметрической группе S ₃ всех перестановок трех различных элементов. Это не относится к диэдральным группам более высоких порядков.

Группа диэдра D ₃ изоморфна двум другим группам симметрии в трех измерениях:

• один с осью вращения 3-го порядка и перпендикулярной осью вращения 2-го порядка (следовательно, их три): D ₃
• один с осью вращения третьего порядка в плоскости отражения (а значит, и в двух других плоскостях отражения): C _3v

Перестановки набора из трех объектов

Рассмотрим три цветных блока (красный, зеленый и синий), изначально расположенные в порядке RGB. Тогда симметрическая группа S ₃ представляет собой группу всех возможных перестановок этих блоков. Если мы обозначим через a действие «поменять местами первые два блока», а через b — действие «поменять местами два последних блока», мы сможем записать все возможные перестановки в терминах этих двух действий.

В мультипликативной форме мы традиционно пишем xy для комбинированного действия «сначала сделай y , затем сделай x »; так что ab — это действие RGB ↦ RBG ↦ BRG , т. е. «взять последний блок и переместить его вперед». Если мы напишем e для «оставить блоки как они есть» (действие тождества), то мы можем записать шесть перестановок набора из трех блоков как следующие действия:

• е  : RGB ↦ RGB или ()
• а  : RGB ↦ GRB или (RG)
• б  : RGB ↦ RBG или (ГБ)
• ab  : RGB ↦ BRG или (RGB)
• ba  : RGB ↦ GBR или (RBG)
• аба  : RGB ↦ BGR или (RB)

Обозначение в скобках — это обозначение цикла .

Обратите внимание, что действие aa имеет эффект RGB ↦ GRB ↦ RGB , оставляя блоки такими, какими они были; поэтому мы можем написать aa = e . Сходным образом,

• бб = е ,
• ( аба )( аба ) = е и
• ( аб ) ( ба ) знак равно ( ба ) ( аб ) знак равно е ;

поэтому каждое из вышеперечисленных действий имеет обратное.

Путем проверки мы также можем определить ассоциативность и замыкание (две необходимые групповые аксиомы ); обратите внимание, например, что

• ( ab ) a = a ( ba ) = aba , и
• ( ба ) б знак равно б ( аб ) знак равно баб .

Группа неабелева, поскольку, например, ab ≠ ba . Поскольку оно строится из основных действий a и b , мы говорим, что набор { a , b } его порождает .

В группе прошла презентация

${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3}=1,a^{2}=1,ara=r^{-1}\rangle }$, также написано ${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3},a^{2},arar\rangle }$

или

${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{3}=1\rangle }$, также написано ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2},(ab)^{3}\rangle }$

где a и b — обмены местами, а r = ab — циклическая перестановка. Обратите внимание, что второе представление означает, что группа является группой Кокстера . (Фактически все группы диэдра и симметрии являются группами Кокстера.)

Сводка групповых операций

С помощью генераторов a и b мы определяем дополнительные сокращения c  := aba , d  := ab и f  := ba , так что a, b, c, d, e и f — все элементы этой группы. Затем мы можем суммировать групповые операции в форме таблицы Кэли :

Обратите внимание, что неравные неидентичные элементы коммутируют только в том случае, если они являются обратными друг другу. Следовательно, группа бесцентровая , т. е. центр группы состоит только из единичного элемента.

Классы сопряженности

Мы можем легко различить три вида перестановок трех блоков, классов сопряженности группы:

• без изменений(), элемент группы порядка 1
• меняя местами два блока: (RG), (RB), (GB), три групповых элемента порядка 2
• циклическая перестановка всех трёх блоков: (RGB), (RBG), двух групповых элементов порядка 3

Например, (RG) и (RB) имеют форму ( x y ); перестановка букв R, G и B (а именно (GB)) меняет обозначение (RG) на (RB). Следовательно, если мы применим (GB), затем (RB), а затем инверсию (GB), которая также является (GB), результирующая перестановка будет (RG).

Обратите внимание, что элементы сопряженной группы всегда имеют одинаковый порядок , но, как правило, два элемента группы, имеющие одинаковый порядок, не обязательно должны быть сопряженными.

Подгруппы

Из теоремы Лагранжа мы знаем, что любая нетривиальная подгруппа группы из 6 элементов должна иметь порядок 2 или 3. Фактически две циклические перестановки всех трех блоков с единицей образуют подгруппу порядка 3, индекса 2 и перестановки двух блоков, каждый из которых имеет единицу, образуют три подгруппы порядка 2, индекса 3. Существование подгрупп порядка 2 и 3 также является следствием теоремы Коши .

Первой из упомянутых является { (), (RGB), (RBG) }, чередующаяся группа A ₃ .

Левые и правые классы A 3 _{совпадают} (как и для любой подгруппы индекса 2) и состоят из A ₃ и множества трех перестановок { (RB), (RG), (BG) }.

Левые смежные классы { (), (RG) } :

• { (), (РГ) }
• { (РБ), (РГБ) }
• { (ГБ), (РБГ) }

Правые смежные классы { (RG), () } :

• { (РГ), () }
• { (РБГ), (РБ) }
• { (RGB), (GB) }

Таким образом, A3 нормальна _, а остальные три нетривиальные подгруппы — нет. Факторгруппа G / A ₃ изоморфна C ₂ . ​

${\displaystyle G=\mathrm {A} _{3}\rtimes H}$, полупрямое произведение , где H — подгруппа из двух элементов: () и одного из трёх свопов. Это разложение также является следствием (частным случаем) теоремы Шура–Цассенхауза .

С точки зрения перестановок два элемента группы G /A ₃ — это набор четных перестановок и набор нечетных перестановок.

Если исходная группа создается в результате поворота плоскости на 120° вокруг точки и отражения относительно линии, проходящей через эту точку, то факторгруппа имеет два элемента, которые можно описать как подмножества «просто повернуть ( или ничего не делай)» и «сделать зеркальное отражение ».

Обратите внимание, что для группы симметрии квадрата неравномерная перестановка вершин соответствует не зеркальному отображению, а операциям, не разрешенным для прямоугольников , т. е. повороту на 90° и применению диагональной оси отражения.

Полупрямые продукты

${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\rtimes _{\varphi }\mathrm {C} _{2}}$это если и φ (0), и φ (1) тождественны. Полупрямое произведение изоморфно группе диэдра порядка 6, если φ (0) — тождество, а φ (1) — нетривиальный автоморфизм C ₃ , инвертирующий элементы. ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\times \mathrm {C} _{2}}$

Таким образом мы получаем:

( п ₁ , 0) * ( п ₂ , час ₂ ) знак равно ( п ₁ + п ₂ , час ₂ )

( п ₁ , 1) * ( п ₂ , час ₂ ) знак равно ( п ₁ - п ₂ , 1 + час ₂ )

для всех n ₁ , n ₂ в C ₃ и h ₂ в C ₂ . Более кратко,

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

для всех n ₁ , n ₂ в C ₃ и h ₁ , h ₂ в C ₂ .

В таблице Кэли:

Обратите внимание, что для второй цифры у нас по сути есть таблица 2×2 с равными значениями 3×3 для каждой из этих 4 ячеек. Для первой цифры левая половина таблицы такая же, как и правая, но верхняя половина отличается от нижней.

Для прямого произведения таблица такая же, за исключением того, что первые цифры нижней половины таблицы такие же, как и в верхней половине.

Групповое действие

Рассмотрим D ₃ геометрически, как группу симметрии изометрий плоскости, и рассмотрим соответствующее групповое действие на набор из 30 равномерно расположенных точек окружности, пронумерованных от 0 до 29, с 0 на одной из осей отражения .

В этом разделе иллюстрируются концепции групповых действий для этого случая.

Действие G на X называется

• транзитивно , если для любых двух x , y в X существует g в G такой, что g · x = y ; это не вариант
• верный (или эффективный ), если для любых двух различных g , h в G существует x в X такой, что g · x ≠ h · x ; это так, потому что, кроме тождества, группы симметрии не содержат элементов, которые «ничего не делают».
• свободен, если для любых двух различных g , h в G и всех x в X имеем g · x ≠ h · x ; это не так, потому что есть отражения

Орбиты и стабилизаторы

Орбиты 30 равномерно расположенных точек на окружности под групповым действием D ₃

Орбита точки x в X — это набор элементов X , в который x может быть перемещен элементами G. Орбита x обозначается Gx :

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}}$

Орбиты: {0, 10, 20}, {1, 9, 11, 19, 21, 29}, {2, 8, 12, 18, 22, 28}, {3, 7, 13, 17, 23, 27}, {4, 6, 14, 16, 24, 26} и {5, 15, 25}. Точки внутри орбиты «эквивалентны». Если для узора применяется группа симметрии, то внутри каждой орбиты цвет один и тот же.

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G .

Если Y является подмножеством X , мы пишем GY для множества { g · y : y ∈ Y и g  ∈ G }. Мы называем подмножество Y инвариантным относительно G, если GY = Y (что эквивалентно GY ⊆ Y ) . В этом случае G также действует на Y. Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g · y = y для всех g в G и всех y в Y . Объединение, например, двух орбит инвариантно относительно G , но не фиксировано.

Для каждого x в X мы определяем подгруппу стабилизатора x (также называемую группой изотропии или маленькой группой ) как набор всех элементов в G , которые фиксируют x :

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$

Если x — точка отражения (0, 5, 10, 15, 20 или 25) , ее стабилизатором является группа второго порядка, содержащая единицу и отражение в x . В остальных случаях стабилизатором является тривиальная группа.

Для фиксированного x в X рассмотрим отображение G в X , заданное формулой g ↦ g · x . Образ этой карты — это орбита x , а кообраз — это набор всех левых смежных классов G x _. Тогда стандартная теорема о факторах теории множеств дает естественную биекцию между G / G _x и Gx . В частности, биекция задается формулой hG _x ↦ h · x . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты . В двух случаях малой орбиты стабилизатор нетривиален.

Если два элемента x и y принадлежат одной орбите, то их стабилизирующие подгруппы G _x и G _y изоморфны . Точнее: если y = g · x , то G _y = gG _x g ⁻¹ . В примере это применимо, например, для 5 и 25, обеих точек отражения. Отражение около 25 соответствует вращению 10, отражение около 5 и вращению -10.

Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :

${\displaystyle \left|X/G\right|={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\left|X^{g}\right|}$

где X ^g — множество точек, фиксированных g . Т.е. количество орбит равно среднему числу точек, закрепленных на элементе группы.

Для идентичности все 30 точек фиксированы, для двух вращений — ни одной, а для трех отражений — по две: {0, 15}, {5, 20} и {10, 25}. Таким образом, среднее число витков равно шести.

Теория представлений

С точностью до изоморфизма эта группа имеет три неприводимых комплексных унитарных представления, которые мы будем называть (тривиальное представление), и , где нижний индекс указывает на размерность. По своему определению как группа перестановок над множеством из трех элементов, группа имеет представление путем перестановки элементов вектора, фундаментального представления. Это представление не является неприводимым, поскольку оно распадается в прямую сумму и . появляется как подпространство векторов формы и является представлением его ортогонального дополнения, которым являются векторы формы . Нетривиальное одномерное представление возникает за счет градуировки групп : действие представляет собой умножение на знак перестановки элемента группы. Любая конечная группа имеет такое представление, поскольку по своему регулярному действию она является подгруппой циклической группы. Подсчитав квадратные размеры представлений ( , порядок группы), мы видим, что это должны быть все неприводимые представления. ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},-\lambda _{1}-\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

Двумерное неприводимое линейное представление дает одномерное проективное представление (т. е. действие на проективной прямой , вложение в группу Мёбиуса PGL(2, C ) ), как эллиптические преобразования . Это может быть представлено матрицами с элементами 0 и ±1 (здесь они записаны как дробные линейные преобразования ), известными как ангармоническая группа :

• заказ 1: ${\displaystyle z}$
• заказ 2: ${\displaystyle 1-z,1/z,z/(z-1)}$
• заказ 3: ${\displaystyle (z-1)/z,1/(1-z)}$

и, таким образом, сводится к представлению над любым полем, которое всегда является точным/инъективным (поскольку никакие два термина не отличаются только знаком). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только 3 точки, и, таким образом, это исключительный изоморфизм. В характеристике 3 это вложение стабилизирует точку, поскольку (в характеристике больше 3 эти точки различны и переставлены и являются орбитой гармоническое перекрестное отношение ). Над полем с тремя элементами проективная прямая имеет 4 элемента, и поскольку PGL(2, 3) изоморфна симметричной группе на 4 элементах S ₄ , полученное вложение равно стабилизатору точки . ${\displaystyle S_{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2).}$ ${\displaystyle -1=[-1:1],}$ ${\displaystyle 2=1/2=-1}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$ ${\displaystyle -1}$

Смотрите также

• Группа диэдра 8-го порядка

Рекомендации

1. Кубо, Джисуке (2008), «Диэдральная группа как семейная группа», Квантовая теория поля и не только , World Sci. Publ., Хакенсак, Нью-Джерси, стр. 46–63, номер документа : 10.1142/9789812833556_0004, MR  2588575.. Об отождествлении D ₃ с S ₃ и наблюдении того, что эта группа является наименьшей возможной неабелевой группой, см. с. 49.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Двугранная группа D3». Математический мир .

• Фрэли, Джон Б. (1993), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 93–94, ISBN 978-0-201-53467-2

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroupD3.html
• https://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6/Symmetric_group:S3