Группа фонарщиков

В математике фонарная группа L теории групп — это ограниченное сплетение . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\wr \mathbf {Z} }$

Введение

Название группы происходит от представления о ней как о действующей на дважды бесконечную последовательность уличных фонарей, каждый из которых может быть включен или выключен, и фонарщика, стоящего у некоторого фонаря. Эквивалентное описание для этого, называемое базовой группой, имеет вид ${\displaystyle \dots ,l_{-2},l_{-1},l_{0},l_{1},l_{2},l_{3},\dots }$ ${\displaystyle l_{k}.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle B=\bigoplus _{-\infty }^{\infty }\mathbf {Z} _{2},}$

бесконечная прямая сумма копий циклической группы , где соответствует выключенному свету, а соответствует включенному свету, и прямая сумма используется для того, чтобы гарантировать, что одновременно горит только конечное число огней. Элемент задает положение фонарщика и кодирует, какие лампочки горят. ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle B}$

Для группы есть два генератора: генератор t увеличивает k , так что фонарщик переходит к следующей лампе ( t  ^-1 уменьшает k ), а генератор a означает, что состояние лампы l _k изменяется (с выключенного на включенное или с включенного на выключенное). Групповое умножение выполняется путем «следования» этим операциям.

Мы можем предположить, что в любой момент времени горит только конечное число ламп, поскольку действие любого элемента L изменяет не более конечного числа ламп. Однако число зажженных ламп неограниченно. Таким образом, групповое действие похоже на действие машины Тьюринга в двух отношениях. Машина Тьюринга имеет неограниченную память, но использовала только конечный объем памяти в любой момент времени. Более того, голова машины Тьюринга аналогична фонарщику.

Презентация

Стандартное представление для группы фонарщиков вытекает из структуры продукта «венок»

${\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},[t^{m}at^{-m},t^{n}at^{-n}],m,n\in \mathbb {Z} \rangle }$, который можно упростить до

${\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},(at^{n}at^{-n})^{2},n\in \mathbb {Z} \rangle }$.

Скорость роста группы, функция, описывающая число элементов группы, которые могут быть образованы как произведение генераторов для каждого , обычно определяется относительно этих двух генераторов и . Она является экспоненциальной, с золотым сечением в качестве основания, такой же скоростью, как рост чисел Фибоначчи . ^[1] В некоторых случаях скорость роста изучается относительно двух различных генераторов и , изменяя логарифм скорости роста не более чем на коэффициент 2. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle at}$

Это представление не является конечным. Оно имеет бесконечно много отношений, как указано индексами и . Фактически, для группы lamplighter нет конечного представления, то есть оно не является конечно представленным . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Матричное представление

Если позволить быть формальной переменной, то группа фонарщиков изоморфна группе матриц ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{k}&p\\0&1\end{pmatrix}},}$

где и пробегает все многочлены в ^[2] ${\displaystyle k\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}[t,t^{-1}].}$

Используя представленные выше представления, изоморфизм задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\mapsto {\begin{pmatrix}t&0\\0&1\end{pmatrix}}\\a&\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Обобщения

Можно также определить группы фонарщиков , с помощью , так что «лампы» могут иметь больше, чем просто опции «выкл» и «вкл». Классическая группа фонарщиков восстанавливается, когда иногда также рассматриваются более многомерные версии этих групп формы для дальнейшего естественного . ${\displaystyle L_{n}=\mathbf {Z} _{n}\wr \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n=2.}$ ${\displaystyle L_{n}=\mathbf {Z} _{n}\wr \mathbf {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$

Ссылки

1. Bartholdi, Laurent (2017). "Рост групп и сплетенных произведений". В Ceccherini-Silberstein, Tullio; Salvatori, Maura; Sava-Huss, Ecaterina (ред.). Группы, графы и случайные блуждания: избранные статьи с семинара, состоявшегося в Кортоне 2–6 июня 2014 г. Серия лекций Лондонского математического общества. Том 436. Cambridge Univ. Press. С. 1–76. arXiv : 1512.07044 . ISBN 978-1-316-60440-3. МР  3644003.См. приложение C.2.
2. Клей, Мэтт; Маргалит, Дэн , ред. (11 июля 2017 г.). Офисные часы с геометрическим теоретиком групп . Принстон, Нью-Джерси Оксфорд: Princeton University Press. ISBN 9780691158662.

Дальнейшее чтение

• Некрашевич, Владимир (2005). Самоподобные группы . Математические обзоры и монографии. Том 117. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/surv/117. ISBN 0-8218-3831-8. МР  2162164.