Спектральная утечка

Эффект в обработке сигнала

Преобразование Фурье функции времени, s(t), является комплекснозначной функцией частоты, S(f), часто называемой спектром частот . Любая линейная инвариантная во времени операция над s(t) создает новый спектр вида H(f)•S(f), который изменяет относительные величины и/или углы ( фазу ) ненулевых значений S(f). Любой другой тип операции создает новые частотные компоненты, которые можно назвать утечкой спектра в самом широком смысле. Например, выборка создает утечку, которую мы называем псевдонимами исходного спектрального компонента. Для целей преобразования Фурье выборка моделируется как произведение между s(t) и функцией гребенки Дирака . Спектр произведения представляет собой свертку между S(f) и другой функцией, которая неизбежно создает новые частотные компоненты. Но термин «утечка» обычно относится к эффекту оконной обработки , который является произведением s(t) с другим видом функции, функцией окна . Оконные функции имеют конечную длительность, но это не обязательно для создания утечки. Достаточно умножения на функцию, зависящую от времени.

Спектральный анализ

Преобразование Фурье функции cos( ωt ) равно нулю, за исключением частоты ± ω . Однако многие другие функции и формы волн не имеют удобных преобразований замкнутой формы. С другой стороны, может быть интересно узнать их спектральное содержимое только в течение определенного периода времени. В любом случае преобразование Фурье (или аналогичное преобразование) можно применить к одному или нескольким конечным интервалам формы волны. В общем случае преобразование применяется к произведению формы волны и оконной функции. Любое окно (включая прямоугольное) влияет на спектральную оценку, вычисленную этим методом.

Эффекты проще всего характеризовать по их влиянию на синусоидальную функцию s(t), чье неоконный Фурье-преобразование равно нулю для всех частот, кроме одной. Обычно частота выбора составляет 0 Гц, поскольку оконный Фурье-преобразователь — это просто Фурье-преобразование самой оконной функции (см. § Примеры оконных функций ) :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.}$

Когда к s(t) применяются и выборка, и оконная обработка в любом порядке, утечка, вызванная оконной обработкой, представляет собой относительно локализованное распространение частотных компонентов, часто с эффектом размытия, тогда как наложение спектров, вызванное выборкой, представляет собой периодическое повторение всего размытого спектра.

Рисунок 1: Сравнение двух оконных функций с точки зрения их влияния на синусоиды одинаковой силы с аддитивным шумом. Синусоида в бине −20 не страдает от гребешков, а в бине +20,5 демонстрирует наихудший случай гребешков. Прямоугольное окно дает наибольшие гребешковые, но также более узкие пики и более низкий уровень шума. Третья синусоида с амплитудой −16 дБ будет заметна в верхнем спектре, но не в нижнем.

Рисунок 2: Оконная обработка синусоиды приводит к спектральной утечке, даже если синусоида имеет целое число циклов в прямоугольном окне. Утечка очевидна во 2-й строке, синяя трасса. Она такая же, как и красная трасса, которая представляет немного более высокую частоту, которая не имеет целого числа циклов. Когда синусоида дискретизирована и оконирована, ее дискретное преобразование Фурье также демонстрирует ту же картину утечки (строки 3 и 4). Но когда DTFT дискретизировано только скудно, с определенным интервалом, возможно (в зависимости от вашей точки зрения): (1) избежать утечки или (2) создать иллюзию отсутствия утечки. Для случая синусоидальной DTFT (3-я строка графиков, правая сторона) эти выборки являются выходами дискретного преобразования Фурье (DFT). Красная синусоида DTFT (4-я строка) имеет тот же интервал пересечений нуля, но выборки DFT попадают между ними, и утечка обнаруживается.

Выбор функции окна

Оконная обработка простой формы волны, такой как cos( ωt ), приводит к тому, что ее преобразование Фурье вырабатывает ненулевые значения (обычно называемые спектральной утечкой) на частотах, отличных от ω . Утечка имеет тенденцию быть наибольшей (самой высокой) вблизи ω и наименьшей на частотах, наиболее удаленных от  ω .

Если анализируемая форма волны состоит из двух синусоид разных частот, утечка может помешать нашей способности различать их спектрально. Возможные типы помех часто разбиваются на два противоположных класса следующим образом: Если частоты компонентов различаются и один компонент слабее, то утечка от более сильного компонента может скрыть присутствие более слабого. Но если частоты слишком похожи, утечка может сделать их неразрешимыми, даже если синусоиды имеют одинаковую силу. Окна, которые эффективны против первого типа помех, а именно, когда компоненты имеют разные частоты и амплитуды, называются окнами с высоким динамическим диапазоном . Наоборот, окна, которые могут различать компоненты с похожими частотами и амплитудами, называются окнами с высоким разрешением .

Прямоугольное окно является примером окна с высоким разрешением , но низким динамическим диапазоном , что означает, что оно хорошо для различения компонентов схожей амплитуды, даже когда частоты также близки, но плохо для различения компонентов разной амплитуды, даже когда частоты далеки. Окна с высоким разрешением и низким динамическим диапазоном, такие как прямоугольное окно, также обладают свойством высокой чувствительности , которое заключается в способности обнаруживать относительно слабые синусоиды в присутствии аддитивного случайного шума. Это связано с тем, что шум производит более сильный отклик с окнами с высоким динамическим диапазоном, чем с окнами с высоким разрешением.

На другом полюсе диапазона типов окон находятся окна с высоким динамическим диапазоном, но низким разрешением и чувствительностью. Окна с высоким динамическим диапазоном чаще всего оправданы в широкополосных приложениях , где ожидается, что анализируемый спектр будет содержать много различных компонентов с различными амплитудами.

Между крайностями находятся умеренные окна, такие как Ханна и Хэмминга . Они обычно используются в узкополосных приложениях , таких как спектр телефонного канала.

Подводя итог, спектральный анализ подразумевает компромисс между разрешением сопоставимых компонентов силы с похожими частотами ( высокое разрешение/чувствительность ) и разрешением несопоставимых компонентов силы с разными частотами ( высокий динамический диапазон ). Этот компромисс возникает при выборе функции окна. ^{[1] : стр.90}

Дискретные сигналы времени

Когда входной сигнал дискретизирован по времени, а не непрерывен, анализ обычно выполняется путем применения оконной функции, а затем дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Но ДПФ обеспечивает только разреженную выборку фактического спектра дискретного временного преобразования Фурье (ДПФ). Рисунок 2, строка 3 показывает ДПФ для синусоиды с прямоугольным окном. Фактическая частота синусоиды обозначена как «13» на горизонтальной оси. Все остальное — утечка, преувеличенная использованием логарифмического представления. Единицей частоты являются «ячейки ДПФ»; то есть целые значения на оси частот соответствуют частотам, дискретизированным ДПФ. ^{[2] : стр.56 ур.(16)} Таким образом, на рисунке изображен случай, когда фактическая частота синусоиды совпадает с выборкой ДПФ, и максимальное значение спектра точно измеряется этой выборкой. В строке 4 он пропускает максимальное значение на 1 ⁄ 2 ячейки, и результирующая ошибка измерения называется потерей гребешкового типа (вдохновленная формой пика). Для известной частоты, такой как музыкальная нота или синусоидальный тестовый сигнал, сопоставление частоты с ячейкой DFT может быть заранее организовано выбором частоты дискретизации и длины окна, что приводит к целому числу циклов в пределах окна.

Рисунок 3: На этом рисунке сравниваются потери обработки трех оконных функций для синусоидальных входных сигналов с минимальными и максимальными потерями из-за гребешковой развертки.

Ширина полосы пропускания шума

Концепции разрешения и динамического диапазона, как правило, несколько субъективны, в зависимости от того, что пользователь на самом деле пытается сделать. Но они также, как правило, сильно коррелируют с общей утечкой, которая поддается количественной оценке. Обычно она выражается как эквивалентная полоса пропускания, B. Ее можно рассматривать как перераспределение DTFT в прямоугольную форму с высотой, равной спектральному максимуму, и шириной B. ^{[A] [3]} Чем больше утечка, тем больше полоса пропускания. Иногда ее называют эквивалентной шумовой полосой пропускания или эквивалентной шумовой полосой пропускания , потому что она пропорциональна средней мощности, которая будет зарегистрирована каждым бином DFT, когда входной сигнал содержит случайный шумовой компонент (или является просто случайным шумом). График спектра мощности , усредненный по времени, обычно показывает плоский шумовой уровень , вызванный этим эффектом. Высота шумового уровня пропорциональна B. Таким образом, две разные функции окна могут создавать разные шумовые уровни, как показано на рисунках 1 и 3.

Обработка прибылей и убытков

При обработке сигналов операции выбираются для улучшения некоторых аспектов качества сигнала путем использования различий между сигналом и искажающими воздействиями. Когда сигнал представляет собой синусоиду, искажённую аддитивным случайным шумом, спектральный анализ распределяет компоненты сигнала и шума по-разному, что часто упрощает обнаружение наличия сигнала или измерение определённых характеристик, таких как амплитуда и частота. Фактически, отношение сигнал/шум (SNR) улучшается за счёт равномерного распределения шума, при этом большая часть энергии синусоиды концентрируется вокруг одной частоты. Выигрыш при обработке — это термин, часто используемый для описания улучшения SNR. Выигрыш при обработке спектрального анализа зависит от оконной функции, как её полосы пропускания шума (B), так и её потенциальной потери на гребешковую деформацию. Эти эффекты частично компенсируются, поскольку окна с наименьшей гребешковой деформацией, естественно, имеют наибольшую утечку.

Рисунок 3 показывает эффекты трех различных оконных функций на одном и том же наборе данных, содержащем две синусоиды одинаковой силы в аддитивном шуме. Частоты синусоид выбраны таким образом, чтобы одна не встречала гребешков, а другая встречала гребешковую форму. Обе синусоиды испытывают меньшую потерю SNR под окном Ханна , чем под окном Блэкмана-Харриса . В целом (как упоминалось ранее), это является сдерживающим фактором для использования окон с высоким динамическим диапазоном в приложениях с низким динамическим диапазоном.

Рисунок 4: Два разных способа генерации 8-точечной гауссовой оконной последовательности ( σ  = 0,4) для приложений спектрального анализа. MATLAB называет их «симметричными» и «периодическими». Последний также исторически называется DFT-четными .

Рисунок 5: Спектральные характеристики утечки функций на рисунке 4

Симметрия

Формулы, представленные в § Примеры оконных функций, создают дискретные последовательности, как если бы была «выбрана» непрерывная оконная функция. (См. пример в окне Кайзера .) Оконные последовательности для спектрального анализа являются либо симметричными , либо на 1 выборку короче симметричных (называемые периодическими , ^{[4] [5]} ДПФ-четными , или ДПФ-симметричными ^{[2] : стр.52} ). Например, истинно симметричная последовательность с максимумом в одной центральной точке генерируется функцией MATLAB .hann(9,'symmetric') Удаление последнего образца создает последовательность, идентичную hann(8,'periodic'). Аналогично, последовательность hann(8,'symmetric')имеет две равные центральные точки. ^[6]

Некоторые функции имеют одну или две конечные точки с нулевым значением, которые не нужны в большинстве приложений. Удаление конечной точки с нулевым значением не влияет на ее DTFT (спектральную утечку). Но функция, разработанная для N  + 1 или N  + 2 выборок, в ожидании удаления одной или обеих конечных точек, обычно имеет немного более узкий главный лепесток, немного более высокие боковые лепестки и немного меньшую ширину полосы шума. ^[7]

DFT-симметрия

Предшественником ДПФ является конечное преобразование Фурье , а оконные функции были «всегда нечетным числом точек и демонстрируют четную симметрию относительно начала координат». ^{[2] : стр. 52} В этом случае ДПФ полностью вещественнозначно. Когда та же последовательность сдвигается в окно данных ДПФ , ДПФ становится комплекснозначным, за исключением частот, разнесенных на регулярные интервалы ^[a] Таким образом, при выборке ДПФ длиной , выборки (называемые коэффициентами ДПФ ) по-прежнему вещественнозначны. Приближение заключается в усечении последовательности длины N +1 (фактически ) и вычислении ДПФ длины . ДПФ (спектральная утечка) слегка затронута, но выборки остаются вещественнозначными. ^{[8] [B]} Термины ДПФ-четный и периодический относятся к идее, что если бы усеченная последовательность повторялась периодически, она была бы четно-симметричной относительно , ​​а ее ДПФ было бы полностью вещественнозначным. Но фактическое DTFT обычно комплекснозначно, за исключением коэффициентов DFT. Спектральные графики, подобные тем, что приведены в § Примеры оконных функций , производятся путем выборки DTFT на гораздо меньших интервалах, чем и отображения только компонента амплитуды комплексных чисел. ${\displaystyle [0\leq n\leq N],}$ ${\displaystyle 1/N.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w[N]=0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/N}$

Периодическое суммирование

Точный метод выборки DTFT последовательности длины N +1 с интервалами описан в DTFT § L=N+1 . По сути, объединяется с (путем сложения), и выполняется -точечное DFT на усеченной последовательности. Аналогично спектральный анализ будет выполняться путем объединения и выборок данных перед применением усеченного симметричного окна. Это не является общепринятой практикой, хотя усеченные окна очень популярны. ^{[2] [9] [10] [11] [12] [13] [b]} ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle w[N]}$ ${\displaystyle w[0]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=N}$

Свертка

Привлекательность DFT-симметричных окон объясняется популярностью алгоритма быстрого преобразования Фурье (FFT) для реализации DFT, поскольку усечение последовательности нечетной длины приводит к последовательности четной длины. Их действительные коэффициенты DFT также являются преимуществом в некоторых эзотерических приложениях ^[C] , где оконная обработка достигается посредством свертки между коэффициентами DFT и неоконной DFT данных. ^{[14] [2] : стр.62  [1] : стр.85} В этих приложениях предпочтительны DFT-симметричные окна (четной или нечетной длины) из семейства косинус-сумм, поскольку большинство их коэффициентов DFT имеют нулевое значение, что делает свертку очень эффективной. ^{[D] [1] : стр.85}

Некоторые метрики окна

Сравнение спектральной утечки нескольких оконных функций

При выборе подходящей оконной функции для приложения этот сравнительный график может быть полезен. Ось частоты имеет единицы "ячеек" БПФ, когда окно длиной N применяется к данным и вычисляется преобразование длиной N. Например, значение на частоте ⁠1/2⁠ «bin» — это отклик, который будет измерен в бинах k и k  + 1 на синусоидальный сигнал с частотой k  +  ⁠1/2⁠ . Это относительно максимально возможного отклика, который возникает, когда частота сигнала представляет собой целое число бинов. Значение на частоте ⁠1/2⁠ называется максимальной потерей гребешкового эффекта окна, которая является одной из метрик, используемых для сравнения окон. Прямоугольное окно заметно хуже других с точки зрения этой метрики.

Другие метрики, которые можно увидеть, — это ширина главного лепестка и пиковый уровень боковых лепестков, которые соответственно определяют способность разрешать сигналы сопоставимой силы и сигналы разной силы. Прямоугольное окно (например) является лучшим выбором для первого и худшим выбором для второго. Чего не видно из графиков, так это того, что прямоугольное окно имеет лучшую полосу пропускания шума, что делает его хорошим кандидатом для обнаружения синусоид низкого уровня в среде белого шума . Для смягчения его потенциальных потерь от гребешков доступны такие методы интерполяции, как заполнение нулями и сдвиг частоты.

Смотрите также

• § Выборка DTFT
• Эффект лезвия ножа , пространственный аналог усечения
• явление Гиббса

Примечания

1. Математически эквивалентная шуму полоса пропускания передаточной функции H — это полоса пропускания идеального прямоугольного фильтра с тем же пиковым усилением, что и H , который пропускал бы ту же мощность с белым шумом на входе. В единицах частоты f (например, герцах ) она определяется как :

   ${\displaystyle B_{\text{noise}}={\frac {1}{|H(f)|_{\max }^{2}}}\int _{0}^{\infty }|H(f)|^{2}df.}$

2. Примером эффекта усечения на спектральную утечку являются окна Гаусса. График, помеченный как DTFT periodic8, является DTFT усеченного окна, помеченного как periodic DFT-even (оба синие). Зеленый график, помеченный как DTFT symmetric9 , соответствует тому же окну с восстановленной симметрией. Выборки DTFT, помеченные как DFT8 periodic summation , являются примером использования периодического суммирования для выборки на тех же частотах, что и синий график.
3. Иногда требуются как оконные, так и неоконные (прямоугольно-оконные) ДПФ.
4. Например, см. рисунки DFT-четное окно Ханна и Нечетная длина, DFT-четное окно Ханна, которые показывают, что DFT -длины последовательности, сгенерированной hann( ,'periodic'), имеет только три ненулевых значения. Все остальные выборки совпадают с нулевыми пересечениями DTFT. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Ссылки на страницы

1. Харрис 1978, стр. 52, где ${\displaystyle \Delta \omega \triangleq 2\pi \Delta f.}$
2. Наттолл 1981, стр. 85 (15а).

Ссылки

1. Nuttall, Albert H. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506. Расширяет статью Харриса, охватывая все известные на тот момент оконные функции, а также сравнения ключевых метрик.
2. Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. Bibcode :1978IEEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548.  Фундаментальная статья Харриса 1978 года об окнах БПФ, в которой определено множество окон и введены ключевые показатели, используемые для их сравнения.
3. Карлсон, А. Брюс (1986). Системы связи: Введение в сигналы и шумы в электросвязи. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009960-9.
4. "Окно Ханна (Хеннинга) - MATLAB Ханн" . www.mathworks.com . Проверено 12 февраля 2020 г.
5. "Функция окна". www.mathworks.com . Получено 2019-04-14 .
6. Робертсон, Нил (18 декабря 2018 г.). «Оценка оконных функций для дискретного преобразования Фурье». DSPRelated.com . The Related Media Group . Получено 9 августа 2020 г. .Пересмотрено 22 февраля 2020 г.
7. "Matlab для окна Ханна". ccrma.stanford.edu . Получено 01.09.2020 .
8. Rohling, H.; Schuermann, J. (март 1983). "Дискретные функции временного окна с произвольно низким уровнем боковых лепестков". Обработка сигналов . 5 (2). Forschungsinstitut Ulm, Sedanstr, Germany: AEG-Telefunken: 127–138. Bibcode : 1983SigPr...5..127R. doi : 10.1016/0165-1684(83)90019-1 . Получено 8 августа 2020 г. Можно показать, что метод дискретизации DFT-even, предложенный Харрисом, не является наиболее подходящим.
9. Хайнцель, Г.; Рюдигер, А.; Шиллинг, Р. (2002). Оценка спектра и спектральной плотности с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ), включая полный список оконных функций и некоторые новые окна с плоской вершиной (Технический отчет). Институт Макса Планка (MPI) für Gravitationsphysik / Laser Interferometry & Gravitational Wave Astronomy. 395068.0 . Получено 10.02.2013 .Также доступно по адресу https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/component/file_152163/content
10. Lyons, Richard (1 июня 1998 г.). «Функции оконного преобразования улучшают результаты БПФ». EDN . Саннивейл, Калифорния: TRW . Получено 8 августа 2020 г. .
11. Фултон, Тревор (4 марта 2008 г.). "DP Numeric Transform Toolbox". herschel.esac.esa.int . Обработка данных Herschel . Получено 8 августа 2020 г. .
12. Poularikas, AD (1999). "7.3.1". В Poularikas, Alexander D. (ред.). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (PDF) . Boca Raton: CRC Press LLC. ISBN 0849385792. Получено 8 августа 2020 г. . Окна — это четные (относительно начала координат) последовательности с нечетным числом точек. Самая правая точка окна будет отброшена.
13. Пакетт, Миллер (30 декабря 2006 г.). «Анализ Фурье непериодических сигналов». msp.ucsd.edu . Калифорнийский университет в Сан-Диего . Получено 9 августа 2020 г. .
14. Патент США 6898235, Карлин, Джо; Коллинз, Терри и Хейс, Питер и др., «Устройство перехвата и пеленгации широкополосной связи с использованием гиперканализации», опубликовано 10 декабря 1999 г., выдано 24 мая 2005 г. , также доступно по адресу https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf