Распределение Дагум

Распределение Дагума (или распределение Мильке Бета-Каппа) — это непрерывное распределение вероятностей, определенное по положительным действительным числам . Оно названо в честь Камило Дагума, который предложил его в серии статей в 1970-х годах. ^{[2] [3]} Распределение Дагума возникло из нескольких вариантов новой модели распределения размеров личных доходов и в основном связано с изучением распределения доходов . Существует как трехпараметрическая спецификация (тип I), так и четырехпараметрическая спецификация (тип II) распределения Дагума; краткое изложение происхождения этого распределения можно найти в «Руководстве по распределениям Дагума». ^[4] Общий источник по статистическим распределениям размеров, часто цитируемый в работах, использующих распределение Дагума, — это Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках . ^[5]

Определение

Кумулятивная функция распределения Дагума (тип I) определяется выражением

${\displaystyle F(x;a,b,p)=\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}{\text{ for }}x>0{\text{ where }}a,b,p>0.}$

Соответствующая функция плотности вероятности определяется выражением

${\displaystyle f(x;a,b,p)={\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right).}$

Функция квантиля определяется как

${\displaystyle Q(u;a,b,p)=b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}={\frac {bu^{\frac {1}{pa}}}{\left(1-u^{\frac {1}{p}}\right)^{\frac {1}{a}}}}}$

Распределение Дагума можно вывести как частный случай обобщенного распределения Бета II (GB2) (обобщение распределения Бета-простых чисел ):

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff X\sim GB2(a,b,p,1)}$

Также существует тесная связь между распределением Дагум и Сингха–Маддалы/Берра .

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff {\frac {1}{X}}\sim SM(a,{\tfrac {1}{b}},p)}$

Кумулятивная функция распределения Дагума (тип II) добавляет точечную массу в начало координат, а затем следует распределению Дагума (тип I) по остальной части носителя (т.е. по положительной полуоси).

${\displaystyle F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta )\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}.}$

Использование в экономике

Распределение Дагум часто используется для моделирования распределения доходов и богатства. Связь между типом Дагум I и коэффициентом Джини суммируется в формуле ниже: ^[6]

${\displaystyle G={\frac {\Gamma (p)\Gamma (2p+1/a)}{\Gamma (2p)\Gamma (p+1/a)}}-1,}$

где — гамма-функция . Обратите внимание, что это значение не зависит от параметра масштаба, . ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle b}$

Хотя распределение Дагума — не единственное трехпараметрическое распределение, используемое для моделирования распределения доходов, одно исследование показало, что оно обычно лучше подходит, чем другие трехпараметрические модели. ^[7]

Распределение Дагум было расширено для моделирования распределения чистого богатства, учитывая наблюдаемые частоты отрицательного и нулевого чистого богатства. Эта обобщенная модель, известная как Общая модель распределения чистого богатства Дагум ^[8] , представляет собой смешанную модель, состоящую из атомарного распределения в нуле (представляющего экономические единицы без богатства) с двумя непрерывными распределениями для отрицательного и положительного чистого богатства.

Ссылки

1. Chotikapanich, Duangkamon; et al. (2018). «Использование распределения доходов GB2». Эконометрика . 6 (2): 21. doi : 10.3390/econometrics6020021 . hdl : 10419/195459 .
2. Дагум, Камило (1975). «Модель распределения доходов и условия существования моментов конечного порядка». Бюллетень Международного статистического института . 46 (Труды 40-й сессии МСИ, представленный доклад): 199–205.
3. Дагум, Камило (1977). «Новая модель распределения доходов населения: уточнение и оценка». Экономная аппликация . 30 : 413–437.
4. Kleiber, Christian (2008). "Руководство по распределению Дагум" (PDF) . В Chotikapanich, Duangkamon (ред.). Моделирование распределения доходов и кривых Лоренца . Экономические исследования неравенства, социальной изоляции и благополучия. Springer. стр. 97–117. doi :10.1007/978-0-387-72796-7_6. ISBN 978-0-387-72756-1.
5. Клейбер, Кристиан; Коц, Сэмюэл (2003). Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках . Wiley. ISBN 0-471-15064-9.
6. Клейбер, Кристиан (2007). «Руководство по распределениям Дагум». Рабочий документ .
7. Бандурян, Рипси и др. (2002). «Сравнение параметрических моделей распределения доходов по странам и с течением времени». Рабочий документ по исследованию доходов Люксембурга № 305. SSRN 324900  .
8. Дагум, Камило (2006). «Модели распределения богатства: анализ и применение». Statistica . 66 (3): 235–268. doi :10.6092/issn.1973-2201/1243. ISSN  1973-2201.

Внешние ссылки

• Камило Дагум (1925–2005). Архивировано 15 августа 2017 г. в Wayback Machine  : некролог.