Гипотеза Дайсона

Теорема о постоянном члене некоторых полиномов Лорана

Фримен Дайсон в 2005 году

В математике гипотеза Дайсона ( Freeman Dyson  1962) — это гипотеза о постоянном члене некоторых полиномов Лорана , доказанная независимо в 1962 году Уилсоном и Гансоном. Эндрюс обобщил ее до гипотезы q-Дайсона , доказанной Зейльбергером и Брессудом и иногда называемой теоремой Цейльбергера-Брессуда . Макдональд обобщил это далее на более общие корневые системы с помощью гипотезы постоянного члена Макдональда , доказанной Чередником .

Гипотеза Дайсона

Гипотеза Дайсона утверждает, что полином Лорана

${\displaystyle \prod _{1\leq i\neq j\leq n}(1-t_{i}/t_{j})^{a_{i}}}$

имеет постоянный член

${\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})!}{a_{1}!a_{2}!\cdots a_{n}!}}.}$

Гипотеза была впервые независимо доказана Уилсоном (1962) и Гансоном (1962). Гуд (1970) позже нашел краткое доказательство, заметив, что полиномы Лорана и, следовательно, их постоянные члены удовлетворяют рекурсивным соотношениям.

${\displaystyle F(a_{1},\dots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}F(a_{1},\dots ,a_{i}-1,\dots ,a_{n}).}$

Случай n  = 3 гипотезы Дайсона следует из тождества Диксона .

Силлс и Зейлбергер (2006) и (Силлс 2006) использовали компьютер, чтобы найти выражения для непостоянных коэффициентов полинома Лорана Дайсона.

Интеграл Дайсона

Когда все значения a _i равны β/2, постоянным членом в гипотезе Дайсона является значение интеграла Дайсона

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\prod _{1\leq j<k\leq n}|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}|^{\beta }\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}.}$

Интеграл Дайсона является частным случаем интеграла Сельберга после замены переменной и имеет значение

${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+\beta n/2)}{\Gamma (1+\beta /2)^{n}}}}$

что дает еще одно доказательство гипотезы Дайсона в этом особом случае.

д-Гипотеза Дайсона

Эндрюс (1975) нашел q-аналог гипотезы Дайсона, заявив, что постоянный член

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}\left({\frac {x_{i}}{x_{j}}};q\right)_{a_{i}}\left({\frac {qx_{j}}{x_{i}}};q\right)_{a_{j}}}$

является

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{a_{1}+\cdots +a_{n}}}{(q;q)_{a_{1}}\cdots (q;q)_{a_{n}}}}.}$

Здесь ( a ; q ) _n — символ q-Похгаммера . Эта гипотеза сводится к гипотезе Дайсона для q = 1 и была доказана Зейлбергером и Брессудом (1985) с использованием комбинаторного подхода, вдохновленного предыдущей работой Иры Гессель и Доминика Фоата . Более короткое доказательство с использованием формальных рядов Лорана было дано в 2004 году Ирой Гессель и Гуосе Синем, а еще более короткое доказательство, использующее количественную форму, принадлежит Карасеву и Петрову и независимо от Ласона из «Комбинаторного нульстеллензаца» Ноги Алона. в 2012 году Дьюла Каройи и Золтан Лорант Надь. Последний метод был расширен в 2013 году Шалошем Б. Экхадом и Дороном Зейлбергером для получения явных выражений любого конкретного коэффициента, а не только постоянного члена, см. http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/. mamarimhtml/qdyson.html — для получения подробных ссылок.

Гипотезы Макдональда

Макдональд (1982) распространил гипотезу на произвольные конечные или аффинные корневые системы , при _этом исходная гипотеза Дайсона соответствует случаю корневой системы An _{-1 ,} а гипотеза Эндрюса соответствует аффинной корневой системе An _-1 . Макдональд переформулировал эти гипотезы как гипотезы о нормах полиномов Макдональда . Гипотезы Макдональда были доказаны (Чередник, 1995) с использованием двоякоаффинных алгебр Гекке.

Форма Макдональда гипотезы Дайсона для корневых систем типа BC тесно связана с интегралом Сельберга .

Рекомендации

• Эндрюс, Джордж Э. (1975), «Проблемы и перспективы основных гипергеометрических функций», Теория и применение специальных функций (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1975) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 191–224, MR  0399528.
• Чередник, И. (1995), «Двойные аффинные алгебры Гекке и гипотезы Макдональда», The Annals of Mathematics , 141 (1): 191–216, doi : 10.2307/2118632, JSTOR  2118632
• Дайсон, Фриман Дж. (1962), «Статистическая теория энергетических уровней сложных систем. I», Журнал математической физики , 3 (1): 140–156, Бибкод : 1962JMP.....3..140D, doi : 10.1063/1.1703773, ISSN  0022-2488, MR  0143556
• Гуд, И.Дж. (1970), «Краткое доказательство гипотезы Дайсона», Журнал математической физики , 11 (6): 1884, Бибкод : 1970JMP....11.1884G, номер документа : 10.1063/1.1665339, ISSN  0022-2488, МР  0258644
• Гансон, Дж. (1962), «Доказательство гипотезы Дайсона в статистической теории энергетических уровней», Журнал математической физики , 3 (4): 752–753, Бибкод : 1962JMP.....3..752G , doi : 10.1063/1.1724277 , ISSN  0022-2488, MR  0148401
• Макдональд, И.Г. (1982), «Некоторые предположения о корневых системах», SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007, doi : 10.1137/0513070, ISSN  0036-1410, MR  0674768
• Силлс, Эндрю В. (2006), «Нарушение гипотезы Дайсона в целом ХОРОШИМ способом», Journal of Combinatorial Theory, Series A , 113 (7): 1368–1380, arXiv : 1812.05557 , doi : 10.1016/j.jcta .2005.12.005, ISSN  1096-0899, MR  2259066, S2CID  1565705
• Силлс, Эндрю В.; Зейлбергер, Дорон (2006), «Нарушение гипотезы Дайсона (ХОРОШИМ способом)», Experimental Mathematics , 15 (2): 187–191, arXiv : 1812.04490 , doi : 10.1080/10586458.2006.10128959, ISSN  1058-6458, MR  2253005, S2CID  14594152
• Уилсон, Кеннет Г. (1962), «Доказательство гипотезы Дайсона», Журнал математической физики , 3 (5): 1040–1043, Бибкод : 1962JMP.....3.1040W, doi : 10.1063/1.1724291, ISSN  0022-2488, МР  0144627
• Зайлбергер, Дорон ; Брессуд, Дэвид М. (1985), «Доказательство гипотезы q-Дайсона Эндрюса», Discrete Mathematics , 54 (2): 201–224, doi : 10.1016/0012-365X(85)90081-0 , ISSN  0012- 365Х, МР  0791661