Двадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . Он спрашивает, все ли краевые задачи могут быть решены (то есть, имеют ли решения вариационные задачи с определенными граничными условиями ).
Гильберт отметил, что существуют методы решения уравнений в частных производных, в которых значения функции заданы на границе, но проблема требует методов решения уравнений в частных производных с более сложными условиями на границе (например, с использованием производных функции), или для решения задач вариационного исчисления более чем в одном измерении (например, задач о минимальной поверхности или задач о минимальной кривизне)
Исходная постановка задачи в целом выглядит следующим образом:
Важной проблемой, тесно связанной с вышеизложенным (имеется в виду девятнадцатая проблема Гильберта ), является вопрос о существовании решений уравнений в частных производных, когда значения на границе области заданы. Эта задача решается в основном с помощью изящных методов Г. А. Шварца, К. Неймана и Пуанкаре для дифференциального уравнения потенциала. Однако эти методы, по-видимому, вообще не допускают прямого распространения на случай, когда вдоль границы заданы либо дифференциальные коэффициенты, либо какие-либо связи между ними и значениями функции. Их нельзя также сразу распространить на случай, когда речь идет не о потенциальных поверхностях, а, скажем, о поверхностях наименьшей площади или поверхностях постоянной положительной гауссовой кривизны, которые должны проходить через заданную искривленную кривую или растягиваться по заданной кривой. поверхность кольца. Я убежден, что эти теоремы существования можно будет доказать посредством общего принципа, природа которого указана в принципе Дирихле . Тогда этот общий принцип, возможно, позволит нам подойти к вопросу: не имеет ли каждая регулярная вариационная задача решения при условии, что выполняются определенные предположения относительно данных граничных условий (скажем, что функции, рассматриваемые в этих граничных условиях, непрерывны и имеют в сечениях один или несколько больше производных), а также при условии, что, если необходимо, понятие решения будет соответствующим образом расширено? [1]
В области дифференциальных уравнений краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение вместе с набором дополнительных ограничений, называемых граничными условиями . Решением краевой задачи является решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.
Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть корректно поставлена . Это означает, что при наличии входных данных для задачи существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входных данных. Большая часть теоретических работ в области уравнений в частных производных посвящена доказательству того, что краевые задачи, возникающие из научных и технических приложений, на самом деле корректны.