Двойное представительство

Групповое представительство

В математике , если G — группа , а ρ — ее линейное представление в векторном пространстве V , то дуальное представление ρ* определяется над дуальным векторным пространством V * следующим образом: ^{[1] [2]}

ρ*( g ) является транспонированным значением ρ( g ⁻¹ ) , то есть ρ*( g ) = ρ( g ⁻¹ ) ^T для всех g ∈ G .

Двойственное представление также известно как контрагредиентное представление .

Если g — алгебра Ли , а π — ее представление в векторном пространстве V , то дуальное представление π* определяется над дуальным векторным пространством V * следующим образом: ^[3]

π*( X ) = −π( X ) ^T для всех X ∈ g .

Мотивация этого определения заключается в том, что представление алгебры Ли, связанное с дуальным представлением группы Ли, вычисляется по приведенной выше формуле. Но определение дуального представления алгебры Ли имеет смысл, даже если оно не исходит из представления группы Ли.

В обоих случаях дуальное представление является представлением в обычном смысле.

Характеристики

Неприводимость и вторая двойственность

Если (конечномерное) представление неприводимо, то дуальное представление также неприводимо ^[4] —но не обязательно изоморфно исходному представлению. С другой стороны, дуальное представление дуального представления изоморфно исходному представлению.

Унитарные представления

Рассмотрим унитарное представление группы и будем работать в ортонормированном базисе. Таким образом, отображается в группу унитарных матриц. Тогда абстрактное транспонирование в определении дуального представления можно отождествить с обычным транспонированием матрицы. Поскольку сопряженная матрица является комплексно сопряженной транспонированной, транспонированная матрица является сопряженной сопряженной. Таким образом, является комплексно сопряженной сопряженной матрицей обратной к . Но поскольку предполагается, что является унитарным, сопряженная матрица обратной к является просто . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho ^{\ast }(g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

Результатом этого обсуждения является то, что при работе с унитарными представлениями в ортонормированном базисе является просто комплексно сопряженным числом . ${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

Случаи SU(2) и SU(3)

В теории представлений SU(2) дуальное представление каждого неприводимого представления оказывается изоморфным представлению. Но для представлений SU(3) дуальное представление неприводимого представления с меткой является неприводимым представлением с меткой . ^[5] В частности, стандартное трехмерное представление SU(3) (с наибольшим весом ) не изоморфно своему дуальному. В теории кварков в физической литературе стандартное представление и его дуальное представление называются " " и " ." ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\bar {3}}}$

Два неизоморфных дуальных представления SU(3) с наибольшими весами (1,2) и (2,1)

Общие полупростые алгебры Ли

В более общем смысле, в теории представлений полупростых алгебр Ли (или тесно связанной теории представлений компактных групп Ли ) веса дуального представления являются отрицательными весами исходного представления. ^[6] (См. рисунок.) Теперь, для данной алгебры Ли, если случится так, что оператор является элементом группы Вейля , то веса каждого представления автоматически инвариантны относительно отображения . Для таких алгебр Ли каждое неприводимое представление будет изоморфно своему дуальному. (Это ситуация для SU(2), где группа Вейля есть .) Алгебры Ли с этим свойством включают нечетные ортогональные алгебры Ли (тип ) и симплектические алгебры Ли (тип ). ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle \mu \mapsto -\mu }$ ${\displaystyle \{I,-I\}}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Если для данной алгебры Ли не входит в группу Вейля, то двойственное представление неприводимого представления в общем случае не будет изоморфно исходному представлению. Чтобы понять, как это работает, отметим, что всегда существует единственный элемент группы Вейля, отображающий негатив фундаментальной камеры Вейля в фундаментальную камеру Вейля. Тогда, если у нас есть неприводимое представление с наибольшим весом , наименьший вес двойственного представления будет . Из этого следует, что наибольший вес двойственного представления будет . ^[7] Поскольку мы предполагаем, что не входит в группу Вейля, не может быть , что означает, что отображение не является тождеством. Конечно, все еще может случиться, что для определенных специальных выборов мы могли бы иметь . Например, присоединенное представление всегда изоморфно своему двойственному. ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu }$ ${\displaystyle w_{0}\cdot (-\mu )\,}$ ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =w_{0}\cdot (-\mu )}$

В случае SU(3) (или ее комплексифицированной алгебры Ли, ) мы можем выбрать базу, состоящую из двух корней под углом 120 градусов, так что третий положительный корень будет . В этом случае элемент является отражением относительно прямой, перпендикулярной . Тогда отображение является отражением относительно прямой, проходящей через . ^[8] Самодвойственные представления тогда являются теми, которые лежат вдоль прямой, проходящей через . Это представления с метками вида , которые являются представлениями, весовые диаграммы которых являются правильными шестиугольниками. ${\displaystyle \operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle (m,m)}$

Мотивация

В теории представлений как векторы в V , так и линейные функционалы в V * рассматриваются как векторы-столбцы , так что представление может действовать (путем умножения матриц) слева . При наличии базиса для V и двойственного базиса для V * действие линейного функционала φ на v , φ(v) может быть выражено путем умножения матриц,

${\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}$,

где верхний индекс T — транспонированная матрица. Согласованность требует

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .}$^[9]

С данным определением,

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \rho (g^{-1})^{T}\varphi ,\rho (g)v\rangle =(\rho (g^{-1})^{T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \varphi ,v\rangle .}$

Для представления алгебры Ли выбирается согласованность с возможным представлением группы. В общем случае, если Π — представление группы Ли, то π задается как

${\displaystyle \pi (X)={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})|_{t=0}.}$

является представлением его алгебры Ли. Если Π* является двойственным к Π , то его соответствующее представление алгебры Ли π* задается как

${\displaystyle \pi ^{*}(X)={\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}(e^{tX})|_{t=0}={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{-tX})^{T}|_{t=0}=-\pi (X)^{T}.}$   ^[10]

Пример

Рассмотрим группу комплексных чисел с абсолютным значением 1. Все неприводимые представления одномерны, как следствие леммы Шура . Неприводимые представления параметризуются целыми числами и явно задаются как ${\displaystyle G=U(1)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }].}$

Двойственное представление тогда является обратным к транспонированию этой матрицы один за другим, то есть, ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\theta }).}$

То есть, двойственное представление — это . ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle \rho _{-n}}$

Обобщение

Общий кольцевой модуль не допускает дуального представления. Однако модули алгебр Хопфа допускают.

Смотрите также

• Комплексно-сопряженное представление
• Тензорное произведение представлений
• Формула характера Кириллова

Ссылки

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.

1. Лекция 1 Фултона, Уильяма ; Харриса, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
2. Холл 2015 Раздел 4.3.3
3. Лекция 8 Фултона, Уильяма ; Харриса, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
4. Холл 2015 Упражнение 6 Главы 4
5. Холл 2015 Упражнение 3 Главы 6
6. Холл 2015 Упражнение 10 Главы 10
7. Холл 2015 Упражнение 10 Главы 10
8. Холл 2015 Упражнение 3 Главы 6
9. Лекция 1, стр. 4 Фултона, Уильяма ; Харриса, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
10. Лекция 8, стр. 111 Фултона, Уильяма ; Харриса, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.