Двойное число Мерсенна

В математике двойное число Мерсенна — это число Мерсенна вида

${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$

где p — простое число .

Примеры

Первые четыре члена последовательности двойных чисел Мерсенна — это ^[1] (последовательность A077586 в OEIS ):

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$

Двойные простые числа Мерсенна

Двойное простое число Мерсенна называется двойным простым числом Мерсенна . Поскольку число Мерсенна M _p может быть простым только в том случае, если p простое (доказательство см. в разделе «Простое число Мерсенна »), двойное число Мерсенна может быть простым только в том случае, если M _p само является простым числом Мерсенна. Известно , что первые значения p , для которых M _p является простым, являются простыми для p = 2, 3, 5, 7, тогда как явные факторы были найдены для p = 13, 17, 19 и 31. ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ ${\displaystyle M_{M_{p}}}$

Таким образом, наименьшим кандидатом на следующее двойное простое число Мерсенна является , или 2 ^{2305843009213693951} − 1. Будучи примерно 1,695 × 10 ^{694127911065419641} , это число слишком велико для любого известного в настоящее время теста на простоту . Он не имеет простого множителя ниже 1 × 10 ³⁶ . ^[2] Вероятно, не существует других двойных простых чисел Мерсенна, кроме четырех известных. ^{[1] [3]} ${\displaystyle M_{M_{61}}}$

Наименьший простой делитель (где p — n -е простое число) равен ${\displaystyle M_{M_{p}}}$

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 2952575266 26031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (следующий член > 1 × 10 ³⁶ ) (последовательность A309130 в ОЭИС )

Гипотеза Каталана – Мерсенна о числах

Рекурсивно определенная последовательность

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}}$

называется последовательностью чисел Каталана–Мерсенна . ^[4] Первые члены последовательности (последовательность A007013 в OEIS ):

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{1}=2^{2}-1=3}$

${\displaystyle c_{2}=2^{3}-1=7}$

${\displaystyle c_{3}=2^{7}-1=127}$

${\displaystyle c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727}$

${\displaystyle c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.45431\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.70942}}}$

Каталонец обнаружил эту последовательность после открытия Лукасом простоты чисел в 1876 году. ^{[1] [5]} Каталонец предположил , что они просты «до определенного предела». Хотя первые пять членов являются простыми, никакие известные методы не могут доказать, что любые дальнейшие члены являются простыми (за любое разумное время) просто потому, что они слишком велики. Однако, если оно не является простым, есть шанс обнаружить это, вычислив по модулю некоторое маленькое простое число (используя рекурсивное модульное возведение в степень ). Если полученный остаток равен нулю, он представляет собой фактор и, таким образом, опровергает его простоту. Поскольку это число Мерсенна , такой простой делитель должен иметь вид : Кроме того, поскольку оно является составным , когда оно является составным, обнаружение составного термина в последовательности исключило бы возможность каких-либо дальнейших простых чисел в последовательности. ${\displaystyle M_{127}=c_{4}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2kc_{4}+1}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle n}$

В популярной культуре

В фильме «Футурама» «Чудовище с миллиардом спин » двойное число Мерсенна ненадолго встречается в «элементарном доказательстве гипотезы Гольдбаха ». В фильме это число известно как «марсианское простое число». ${\displaystyle M_{M_{7}}}$

Смотрите также

• Сеть Каннингема
• Двойная экспоненциальная функция
• Число Ферма
• Идеальное число
• Виферих простое

Рекомендации

1. Крис Колдуэлл, Простые числа Мерсенна: история, теоремы и списки на главных страницах .
2. «Двойной факторинговый статус Мерсенна 61» . www.doublemersennes.org . Проверено 31 марта 2022 г.
3. Эй Джей Хорошо. Гипотезы о числах Мерсенна. Математика вычислений, том. 9 (1955) с. 120-121 [получено 19 октября 2012 г.]
4. Вайсштейн, Эрик В. «Каталонское число-Мерсенна». Математический мир .
5. «Предлагаемые вопросы» . Новая математическая переписка . 2 : 94–96. 1876.(вероятно, собрано редактором). Почти все вопросы подписаны Эдуардом Лукасом, как и номер 92:

   Prouver que 2 ⁶¹  − 1 и 2 ¹²⁷  − 1 sont des nombres premiers. (Э. Л.) (*).

   Сноска (отмечена звездочкой), написанная редактором Эженом Каталаном, выглядит следующим образом:

   (*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on наблюдает за тем, что 2 ²  - 1, 2 ³  - 1, 2 ⁷  - 1 sont aussi des nombres premiers, на основе эмпирической теории: Jusqu'à une Suree limite, si 2 ⁿ  - 1 est un nombre premier p , 2 ^p  - 1 est un nombre premier p ', 2 ^{p '}  - 1 est un nombre premier p", и т. д. Это предложение представляет собой quelque аналогию с le theorème suivant, énonce par Ферма, и не Эйлер — это неточность: Sin n est une puissance de 2, 2 ⁿ + 1 est un nombre premier (EC) .

дальнейшее чтение

• Диксон, Л.Э. (1971) [1919], История теории чисел , Нью-Йорк: Chelsea Publishing..

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Двойное число Мерсенна». Математический мир .
• Тони Форбс, Поиск фактора MM61. Архивировано 8 февраля 2009 г. в Wayback Machine .
• Статус факторизации двойных чисел Мерсенна
• Двойной поиск простых чисел Мерсенна
• Операция Доппи Мерсенн