Двойной курносый 24-элементный

В геометрии , двойственный плосконосый 24-ячейник представляет собой 144-вершинный выпуклый 4-многогранник, состоящий из 96 неправильных ячеек . Каждая ячейка имеет грани двух видов: 3 воздушных змея и 6 равнобедренных треугольников. ^[1] Многогранник имеет в общей сложности 432 грани (144 воздушных змея и 288 равнобедренных треугольников) и 480 ребер.

Геометрия

Двойственный плосконосый 24-ячейник, впервые описанный Кокой и др. в 2011 году ^[2], является дуальным многогранником плосконосого 24-ячейника , полуправильного многогранника, впервые описанного Торолдом Госсетом в 1900 году. ^[3]

Строительство

Вершины двойного плосконосого 24-ячейки получены с использованием кватернионных простых корней (T') при генерации 600 вершин 120-ячейки. ^[4] Следующее описывает и 24-ячейки как веса кватернионных орбит D4 под группой Вейля W(D4): O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000) : V1 O(0010) : V2 O(0001) : V3 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

С кватернионами , где — сопряжение и и , то группа Кокстера — это группа симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной системы порядка 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Учитывая , что и как обмен внутри , где есть золотое сечение , мы можем построить: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\phi \leftrightarrow \phi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

• курносый 24-элементный ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 600- ячеечный ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 120- ячеечный ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$
• альтернативный курносый 24-элементный ${\displaystyle S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'}$

и, наконец, двойная плосконосая 24-ячейка может быть определена как орбиты . ${\displaystyle T\oplus T'\oplus S'}$

Прогнозы

Двойной

Двойственный многогранник этого многогранника — плосконосый 24-ячейник . ^[5]

Смотрите также

• Снуб 24-ячеистый сотовый

Цитаты

1. Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа, 2011, стр. 986–987, рис. 4.
2. Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011.
3. 1900.
4. Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, стр. 986–988, 6. Двойственный курносому 24-клеточному.
5. Коксетер 1973, стр. 151–153, §8.4. Пренебрежение {3,4,3}.

Ссылки

• Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . Макмиллан.
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
• Конвей, Джон ; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). Симметрии вещей . ISBN 978-1-56881-220-5.
• Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Al-Barwani, Muataz (2012). "Snub 24-Cell Derived from the Coxeter-Weyl Group W(D4)". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . doi :10.1142/S0219887812500685. S2CID  119288632.
• Koca, Mehmet; Al-Ajmi, Mudhahir; Ozdes Koca, Nazife (2011). «Кватернионное представление плосконосого 24-клеточного и его дуального многогранника, полученного из корневой системы E8». Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . doi : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN  0024-3795. S2CID  18278359.