В алгебре двойственность Матлиса — это двойственность между артиновыми и нётеровыми модулями над полным нётеровым локальным кольцом . В частном случае, когда локальное кольцо имеет поле [ необходимо пояснение ] , отображающее поле вычетов, оно тесно связано с более ранней работой Фрэнсиса Сауэрби Маколея о полиномиальных кольцах и иногда называется двойственностью Маколея , а общий случай был введен Матлисом ( 1958).
Предположим, что R — нетерово полное локальное кольцо с полем вычетов k , и выберите E в качестве инъективной оболочки k (иногда называемой модулем Матлиса ). Двойственный D R ( M ) к модулю M определяется как Hom R ( M , E ). Тогда двойственность Матлиса утверждает, что функтор двойственности D R дает антиэквивалентность между категориями артиновских и нётеровых R -модулей. В частности, функтор двойственности дает антиэквивалентность категории модулей конечной длины самой себе.
Предположим, что нётерово полное локальное кольцо R имеет подполе k , которое отображается в подполе конечного индекса своего поля вычетов R / m . Тогда Матлис, двойственный любому R -модулю, является просто его двойственным топологическим векторным пространством над k , если модулю задана его m -адическая топология. В частности, двойственный к R как топологическому векторному пространству над k является модулем Матлиса. Этот случай тесно связан с работой Маколея о кольцах градуированных полиномов и иногда называется двойственностью Маколея.
Если R — кольцо дискретного нормирования с полем факторов K, то модуль Матлиса — это K / R . В частном случае, когда R — кольцо p -адических чисел , двойственным по Матлису конечно-порожденному модулю является двойственный к нему Понтрягину, рассматриваемый как локально компактная абелева группа .
Если R — локальное кольцо Коэна–Маколея размерности d с дуализирующим модулем Ω, то модуль Матлиса задается группой локальных когомологий Hд
Р(Ом). В частности, если R — артиново локальное кольцо, то модуль Матлиса совпадает с дуализирующим модулем.
Двойственность Матлиса может быть концептуально объяснена с использованием языка присоединенных функторов и производных категорий : [1] функтор между производными категориями R- и k- модулей, индуцированный рассмотрением k -модуля как R -модуля, допускает правосопряженный ( производный внутренний Hom )
Этот правый сопряженный отправляет упомянутую выше инъективную оболочку в k , который является дуализирующим объектом в . Этот абстрактный факт затем приводит к вышеупомянутой эквивалентности.
