Делимая группа

В математике , в частности в области теории групп , делимая группа — это абелева группа , в которой каждый элемент может быть, в некотором смысле, разделен на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n -м кратным для каждого положительного целого числа n . Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно потому, что они являются инъективными абелевыми группами.

Определение

Абелева группа делима , если для любого положительного целого числа и любого существует такое, что . ^[1] Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа , , поскольку существование для любого и подразумевает, что , а другое направление верно для любой группы. Третье эквивалентное условие состоит в том, что абелева группа делима тогда и только тогда, когда является инъективным объектом в категории абелевых групп ; по этой причине делимую группу иногда называют инъективной группой . $(G,+)$ $n$ $g\in G$ $y\in G$ $ny=г$ $n$ $nG=G$ $у$ $n$ $г$ $nG\supseteq G$ $nG\subseteq G$ $G$ $G$

Абелева группа - делима для простого числа, если для любого существует такое, что . Эквивалентно, абелева группа - делима тогда и только тогда, когда . $p$ $p$ $g\in G$ $y\in G$ $py=г$ $p$ $pG=G$

Примеры

Рациональные числа образуют делимую группу при сложении. $\mathbb {Q}$
В более общем случае базовая аддитивная группа любого векторного пространства над является делимой. $\mathbb {Q}$
Каждый фактор делимой группы делим. Таким образом, делим. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
P - первичная компонента группы , изоморфная p - квазициклической группе , является делимой . $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} [p^{\infty }]$
Мультипликативная группа комплексных чисел делится. $\mathbb {C} ^{*}$
Каждая экзистенциально замкнутая абелева группа (в теоретико-модельном смысле) делима.

Характеристики

Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы. ^[2]
Каждая абелева группа может быть вложена в делимую группу. ^[3] Другими словами, категория абелевых групп имеет достаточно инъективов .
Нетривиальные делимые группы не являются конечно порожденными .
Кроме того, каждая абелева группа может быть вложена в делимую группу как существенная подгруппа единственным образом. ^[4]
Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p -делима для каждого простого числа p .
Пусть будет кольцом . Если - делимая группа, то инъективно в категории - модулей . ^[5] $А$ $Т$ $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)$ $А$

Теорема о структуре делимых групп

Пусть G — делимая группа. Тогда подгруппа кручения Tor( G ) группы G является делимой. Поскольку делимая группа является инъективным модулем , Tor( G ) является прямым слагаемым группы G . Поэтому

G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).

Как фактор делимой группы, G /Tor( G ) делим. Более того, он не имеет кручения . Таким образом, это векторное пространство над Q , и поэтому существует множество I такое, что

G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.

Структуру подгруппы кручения определить сложнее, но можно показать ^[6]^[7] , что для всех простых чисел p существует такое, что $I_{p}$

(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},

где - p -первичный компонент Tor( G ). $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$

Таким образом, если P — множество простых чисел,

G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.

Мощности множеств I и I _p при p ∈ P однозначно определяются группой G.

Инъекционная оболочка

Как указано выше, любая абелева группа A может быть единственным образом вложена в делимую группу D как существенная подгруппа . Эта делимая группа D является инъективной оболочкой A , и это понятие является инъективной оболочкой в категории абелевых групп.

Редуцированные абелевы группы

Говорят, что абелева группа редуцирована, если ее единственная делимая подгруппа — это {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой подгруппы и редуцированной подгруппы. Фактически, существует единственная наибольшая делимая подгруппа любой группы, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. ^[8] Это особенность наследственных колец, таких как целые числа Z : прямая сумма инъективных модулей инъективна, потому что кольцо нётерово , а факторы инъективных модулей инъективны, потому что кольцо наследственно, поэтому любой подмодуль, порожденный инъективными модулями, инъективен. Обратное является результатом (Matlis 1958): если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо наследственно.

Полную классификацию счетных приведенных периодических абелевых групп дает теорема Ульма .

Обобщение

Несколько различных определений обобщают делимые группы до делимых модулей. Следующие определения использовались в литературе для определения делимого модуля M над кольцом R :

rM = M для всех ненулевых r в R. ^[9] (Иногда требуется, чтобы r не было делителем нуля, а некоторые авторы ^[10] требуют, чтобы R было доменом . )
Для каждого главного левого идеала Ra любой гомоморфизм из Ra в M продолжается до гомоморфизма из R в M. ^[11]^[12] ( Этот тип делимого модуля также называется главным образом инъективным модулем .)
Для каждого конечно порождённого левого идеала L из R любой гомоморфизм из L в M ^{продолжается} до гомоморфизма из R в M. ^[^{требуется ссылка} ]

Последние два условия являются «ограниченными версиями» критерия Бэра для инъективных модулей . Поскольку инъективные левые модули расширяют гомоморфизмы всех левых идеалов до R , инъективные модули, очевидно, делимы в смысле 2 и 3.

Если R дополнительно является областью, то все три определения совпадают. Если R является областью главных левых идеалов, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. ^[13] Таким образом, в случае кольца целых чисел Z , которое является областью главных идеалов, Z -модуль (который является в точности абелевой группой) делим тогда и только тогда, когда он инъективен.

Если R — коммутативная область, то инъективные модули R совпадают с делимыми модулями R тогда и только тогда, когда R — дедекиндова область . ^[13]

Смотрите также

Примечания

^ Гриффит, стр.6
^ Холл, стр.197
^ Гриффит, стр.17
^ Гриффит, стр.19
^ Ланг, стр. 106
^ Капланский 1965.
^ Фукс 1970.
^ Гриффит, стр.7
^ Фейгельсток 2006.
^ Картан и Эйленберг 1999.
^ Лэм 1999.
^ Николсон и Юсиф 2003.
^ ab Lam 1999, стр. 70—73.

Ссылки

Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999), Гомологическая алгебра , Princeton Landmarks in Mathematics, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. xvi+390, ISBN 0-691-04991-2, г-н 1731415С приложением Дэвида А. Буксбаума; Переиздание оригинала 1956 года
Фейгельшток, Шалом (2006), «Divisible is injective», Soochow J. Math. , 32 (2): 241–243, ISSN 0250-3255, MR 2238765
Гриффит, Филлип А. (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7.
Холл, Маршалл-младший (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Macmillan. Глава 13.3.
Капланский, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Издательство Мичиганского университета.
Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы, том 1. Academic Press.
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics № 189, т. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, г-н 1653294
Серж Ланг (1984). Алгебра, второе издание . Менло-Парк, Калифорния: Addison-Wesley.
Матлис, Эбен (1958). «Инъективные модули над нётеровыми кольцами». Pacific Journal of Mathematics . 8 (3): 511–528. doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730. MR 0099360.
Николсон, В. К.; Юсиф, М. Ф. (2003), Квазифробениусовы кольца , Cambridge Tracts in Mathematics, т. 158, Кембридж: Cambridge University Press, стр. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525, ISBN 0-521-81593-2, МР 2003785