Для двух подходящих матриц A и B I+AB и I+BA имеют один и тот же определитель.
В математике тождество Вайнштейна -Ароншайна гласит, что если и являются матрицами размера m × n и n × m соответственно (любая из которых или обе могут быть бесконечными), то при условии (и, следовательно, также ) имеет ядерный класс ,![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle AB}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle BA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – единичная матрица размера k × k .
Она тесно связана с леммой об определителе матрицы и ее обобщением. Это детерминантный аналог матричного тождества Вудбери для обратных матриц.
Доказательство
Тождество можно доказать следующим образом. [1]
Пусть – матрица, состоящая из четырех блоков , , и :
![{\displaystyle I_{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку I m обратимо , формула для определителя блочной матрицы дает
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det \left(I_{n}-BI_{m }^{-1}A\right)=\det(I_{n}-BA).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку I n обратимо, формула для определителя блочной матрицы дает
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det \left(I_{m}-AI_{n }^{-1}B\right)=\det(I_{m}-AB).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом
![{\displaystyle \det(I_{n}-BA)=\det(I_{m}-AB).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Замена then дает тождество Вайнштейна – Ароншайна.![{\displaystyle -A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Приложения
Позволять . Тождество можно использовать, чтобы показать несколько более общее утверждение, что![{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det(AB-\lambda I_{m})=(-\lambda )^{mn}\det(BA-\lambda I_{n}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Отсюда следует, что ненулевые собственные значения и совпадают .![{\displaystyle AB}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle BA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это тождество полезно при разработке байесовской оценки для многомерных гауссовских распределений .
Тождество также находит применение в теории случайных матриц , связывая определители больших матриц с определителями меньших. [2]
Рекомендации
- ^ Позрикидис, К. (2014), Введение в сетки, графики и сети, Oxford University Press, стр. 271, ISBN 9780199996735
- ^ «Мезоскопическая структура собственных значений GUE | Что нового» . Terrytao.wordpress.com . Проверено 16 января 2016 г.