Джозеф Гарольд Сампсон-младший (1926 – 2003) был американским математиком, известным своими работами в области математического анализа , геометрии и топологии , особенно работами о гармонических отображениях в сотрудничестве с Джеймсом Иллсом . Он получил докторскую степень по математике в Принстонском университете в 1951 году под руководством Саломона Бохнера . [1] [2]
В 1964 году Сэмпсон и Джеймс Иллс ввели гармонические отображения , которые являются отображениями между римановыми многообразиями , которые решают геометрически определенную систему уравнений в частных производных . Они также могут быть определены с помощью вариационного исчисления . Обобщая работу Бохнера о гармонических функциях , Иллс и Сэмпсон вывели тождество Бохнера и использовали его для доказательства тривиальности гармонических отображений при определенных условиях кривизны.
Иллс и Сэмпсон установили существование гармонических отображений всякий раз, когда многообразие областей замкнуто , а цель имеет неположительную секционную кривизну . Их доказательство анализировало гармоническое отображение теплового потока , которое является геометрически определенным уравнением теплопроводности . Установив априорные оценки для потока, они смогли доказать его сходимость при указанном предположении кривизны. Использование тождества Бохнера при выводе оценок — это то, где предположение о секционной кривизне играет решающую роль. В результате (последовательной) теоремы о сходимости Иллса и Сэмпсона они смогли доказать существование гармонических отображений в любом гомотопическом классе . Таким образом, гармонические отображения можно рассматривать как канонически определенные представители топологических пространств отображений. Эта перспектива позволила применять гармонические отображения ко многим проблемам геометрии и топологии.
Работа Иллса и Сэмпсона является одной из самых выдающихся работ в области дифференциальной геометрии и послужила прямым источником вдохновения для эпохальной работы Ричарда Гамильтона о потоке Риччи . В дополнение к тепловому потоку Иллса и Сэмпсона, их основные результаты о существовании гармонических отображений могут быть также получены с помощью вариационного исчисления, используя теорию регулярности, разработанную в 1980-х годах Ричардом Шоеном и Карен Уленбек .
Позже в 1978 году Сэмпсон разработал уникальное продолжение, Максимальные принципы , дальнейшие теоремы жесткости и результаты о деформируемости для гармонических отображений. Он также доказал, что гармоническое отображение степени один между компактными гиперболическими римановыми поверхностями должно быть диффеоморфизмом . Тот же результат был получен в то же время Шоеном и Шинг-Тунгом Яу . [3]
За сорок лет Сэмпсон опубликовал около двадцати научных статей.