В математике рентгеновское преобразование (также называемое лучевым преобразованием [1] или преобразованием Джона ) — это интегральное преобразование, введенное Фрицем Джоном в 1938 году [2], которое является одним из краеугольных камней современной интегральной геометрии . Оно очень тесно связано с преобразованием Радона и совпадает с ним в двух измерениях. В более высоких измерениях рентгеновское преобразование функции определяется путем интегрирования по линиям, а не по гиперплоскостям , как в преобразовании Радона. Рентгеновское преобразование получило свое название от рентгеновской томографии (используемой в компьютерной томографии ), поскольку рентгеновское преобразование функции ƒ представляет собой данные затухания томографического сканирования через неоднородную среду, плотность которой представлена функцией ƒ . Поэтому обращение рентгеновского преобразования имеет практическое значение, поскольку позволяет восстановить неизвестную плотность ƒ из ее известных данных затухания.
Более подробно, если ƒ — непрерывная функция с компактным носителем на евклидовом пространстве R n , то рентгеновское преобразование ƒ — это функция Xƒ, определенная на множестве всех прямых в R n соотношением
где x 0 — начальная точка на прямой, а θ — единичный вектор в R n , задающий направление прямой L. Последний интеграл не рассматривается в ориентированном смысле: это интеграл относительно одномерной меры Лебега на евклидовой прямой L .
Рентгеновское преобразование удовлетворяет ультрагиперболическому волновому уравнению, называемому уравнением Джона .
Гауссова или обычная гипергеометрическая функция может быть записана как рентгеновское преобразование (Гельфанд, Гиндикин и Граев 2003, 2.1.2).
