Диаграммы углового момента (квантовая механика)

Наглядная вычислительная техника в квантовой химии

В квантовой механике и ее приложениях к квантовым многочастичным системам , в частности, в квантовой химии , диаграммы углового момента или, точнее, с математической точки зрения, графики углового момента являются диаграммным методом представления квантовых состояний углового момента квантовой системы, позволяющим выполнять вычисления символически. Более конкретно, стрелки кодируют состояния углового момента в скобочной нотации и включают абстрактную природу состояния, такую ​​как тензорные произведения и правила преобразования.

Обозначение соответствует идее графической нотации Пенроуза и диаграмм Фейнмана . Диаграммы состоят из стрелок и вершин с квантовыми числами в качестве меток, отсюда и альтернативный термин « графики ». Смысл каждой стрелки связан с эрмитовым сопряжением , которое примерно соответствует обращению во времени состояний углового момента (ср. уравнение Шредингера ). Диаграммная нотация сама по себе является довольно большой темой с рядом специализированных особенностей — эта статья знакомит с самыми основами.

Они были разработаны главным образом Адольфасом Юцисом (иногда его переводят как Юцис) в двадцатом веке.

Эквивалентность между обозначениями Дирака и диаграммами Юсиса

Состояния углового момента

Вектор квантового состояния отдельной частицы с полным квантовым числом углового момента j и полным магнитным квантовым числом m = j , j − 1, ..., − j + 1, − j , обозначается как кет | j , m ⟩ . На диаграмме это однонаправленная стрелка.

Симметрично, соответствующий бюстгальтер — ⟨ j , m | . В виде диаграммы это двунаправленная стрелка, указывающая в противоположном направлении кету.

В каждом случае;

• Квантовые числа j , m часто указываются рядом со стрелками, чтобы обозначить определенное состояние углового момента,
• Наконечники стрел почти всегда располагаются посередине линии, а не на конце,
• Между эквивалентными диаграммами ставятся знаки равенства «=», точно так же, как для нескольких алгебраических выражений, равных друг другу.

Самые простые схемы предназначены для кетов и бюстгальтеров:

Стрелки направлены к вершинам или от вершин, состояние преобразуется в соответствии с:

• стандартное представление обозначается ориентированной линией, выходящей из вершины,
• Контрастное представление изображается как линия, входящая в вершину.

Как правило, стрелки следуют друг за другом в одном и том же смысле. В представлении contrastandard используется оператор обращения времени , обозначенный здесь как T. Он унитарен, что означает, что эрмитово сопряжение T ^† равно обратному оператору T ⁻¹ , то есть T ^† = T ⁻¹ . Его действие на оператор положения оставляет его инвариантным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}}$

но оператор линейного импульса становится отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}}$

и оператор спина становится отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}}$

Поскольку оператор орбитального момента импульса равен L = x × p , он также должен стать отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}}$

и поэтому оператор полного момента импульса J = L + S становится отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}}$

Действуя на собственное состояние углового момента | j , m ⟩ , можно показать, что: ^[1]

${\displaystyle T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle }$

Диаграммы, обращенные во времени, для кетов и бюстгальтеров:

Важно правильно расположить вершину, так как операторы прямого и обратного времени могут перепутаться.

Внутренний продукт

Скалярное произведение двух состояний | j ₁ , m ₁ ⟩ и | j ₂ , m ₂ ⟩ равно:

${\displaystyle \langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}}$

и диаграммы:

Для суммирования по внутреннему произведению, также известному в этом контексте как свертывание (ср. тензорное свертывание ):

${\displaystyle \sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1}$

принято обозначать результат в виде замкнутого круга, помеченного только буквой j , а не m :

Сокращение внутреннего продукта.

Внешние продукты

Внешнее произведение двух состояний | j ₁ , m ₁ ⟩ и | j ₂ , m ₂ ⟩ является оператором:

${\displaystyle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|}$

и диаграммы:

Для суммирования по внешнему произведению, также известному в этом контексте как свертывание (ср. тензорное свертывание ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}}$

где был использован результат для T | j , m ⟩ и тот факт, что m принимает набор значений, приведенных выше. Нет никакой разницы между состояниями прямого и обратного времени для сокращения внешнего продукта, поэтому здесь они разделяют одну и ту же диаграмму, представленную как одна линия без направления, снова помеченная только j , а не m :

Внешнее сокращение продукта.

Тензорные продукты

Тензорное произведение ⊗ n состояний | j ₁ , m ₁ ⟩ , | j ₂ , m ₂ ⟩ , ... | j _n , m _n ⟩ записывается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}}$

а в виде диаграммы каждое отдельное состояние покидает или входит в общую вершину, создавая «веер» стрелок — n линий, прикрепленных к одной вершине.

Вершины в тензорных произведениях имеют знаки (иногда называемые «узловыми знаками»), указывающие порядок состояний, умноженных на тензор:

• знак минус (−) указывает на порядок по часовой стрелке , и ${\displaystyle \circlearrowright }$
• знак плюс (+) для против часовой стрелки , . ${\displaystyle \circlearrowleft }$

Знаки, конечно, не требуются только для одного состояния, схематически одна стрелка в вершине. Иногда включаются изогнутые стрелки со знаками, чтобы явно показать смысл тензорного умножения, но обычно показывается только знак без стрелок.

Для внутреннего произведения двух тензорных произведений имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}}$

существует n- ное количество стрелок внутреннего произведения:

Примеры и приложения

• Диаграммы хорошо подходят для коэффициентов Клебша–Гордана .
• Расчеты с реальными квантовыми системами, такими как многоэлектронные атомы и молекулярные системы.

Смотрите также

• Физический портал

• Оператор лестницы
• Фок-пространство
• Диаграммы Фейнмана

Ссылки

• Юцис, Адольфас П.; Левинсон, И.Б.; Ванагас, В.В. (1962). Математический аппарат теории углового момента. Перевод А. Сена; Р.Н. Сена. Израильская программа научных переводов.
• Вормер и Палдус (2006) ^[1] дают подробное руководство по диаграммам углового момента.
• I. Lindgren; J. Morrison (1986). Atomic Many-Body Theory. Chemical Physics. Vol. 13 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-16649-8.

Дальнейшее чтение

• GWF Drake (2006). Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics (2-е изд.). Springer. стр. 60. ISBN 978-0-387-26308-3.
• U. Kaldor; S. Wilson (2003). Теоретическая химия и физика тяжелых и сверхтяжелых элементов. Progress in Theoretical Chemistry and Physics. Vol. 11. Springer. стр. 183. ISBN 978-1-4020-1371-3.
• Э.Дж. Брендас; П.О. Лёвдин; Э. Брендас; Е. С. Крячко (2004). Фундаментальный мир квантовой химии: дань памяти Пер-Олову Лёвдину. Том. 3. Спрингер. п. 385. ИСБН 978-1-4020-2583-9.
• P. Schwerdtfeger (2004). Релятивистская электронная теория структуры: Часть 2. Приложения. Теоретическая и вычислительная химия. Т. 14. Elsevier. С. 97. ISBN 978-0-08-054047-4.
• M. Barysz; Y. Ishikawa (2010). Релятивистские методы для химиков. Проблемы и достижения в вычислительной химии и физике. Т. 10. Springer. С. 311. ISBN 978-1-4020-9975-5.

• GHF Diercksen; S. Wilson (1983). Методы вычислительной молекулярной физики. NATO Science Series C. Vol. 113. Springer. ISBN 978-90-277-1638-5.
• Зенонас Рудзикас (2007). "8". Теоретическая атомная спектроскопия . Кембриджские монографии по атомной, молекулярной и химической физике. Том 7. Чикагский университет: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-02622-2.
• «Летувос Физику Драугия» (2004). Журнал «Летувос физикос». Том. 44. Чикагский университет: Драугия.
• PET Jorgensen (1987). Операторы и теория представлений: канонические модели для алгебр операторов, возникающих в квантовой механике. Чикагский университет: Elsevier. ISBN 978-0-08-087258-2.
• P. Cvitanović (2008). Теория групп — следы птиц, ложь и исключительные группы. Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-11836-9.

Примечания

1. PES Wormer; J. Paldus (2006). "Диаграммы углового момента". Advances in Quantum Chemistry . 51. Elsevier: 59–124. Bibcode : 2006AdQC...51...59W. doi : 10.1016/S0065-3276(06)51002-0. ISBN 9780120348510. ISSN  0065-3276.Эти авторы используют тета-вариант ϑ для оператора обращения времени, здесь мы используем T.