Дисковая алгебра

В математике, в частности в функциональном и комплексном анализе , дисковая алгебра A ( D ) (также пишется как дисковая алгебра ) представляет собой множество голоморфных функций

ƒ  : D → , ${\displaystyle \mathbb {C} }$

(где D — открытый единичный круг в комплексной плоскости ) , которые продолжаются до непрерывной функции на замыкании D. То есть, ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle A(\mathbf {D} )=H^{\infty }(\mathbf {D} )\cap C({\overline {\mathbf {D} }}),}$

где H ^∞ ( D ) обозначает банахово пространство ограниченных аналитических функций на единичном круге D (т.е. пространство Харди ). При снабжении поточечным сложением ( ƒ  +  g )( z ) =  ƒ ( z ) +  g ( z ) и поточечным умножением ( ƒg )( z ) =  ƒ ( z ) g ( z ) это множество становится алгеброй над C , поскольку если ƒ и g принадлежат алгебре круга, то также принадлежат ƒ  +  g и  ƒg .

Учитывая равномерную норму ,

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbf {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbf {D} }}\},}$

по построению она становится равномерной алгеброй и коммутативной банаховой алгеброй .

По построению дисковая алгебра является замкнутой подалгеброй пространства Харди H ∞ . В отличие от более сильного требования, что существует непрерывное расширение на окружность, лемма Фату заключается в том, что общий элемент H ∞ может быть радиально расширен на окружность почти всюду .

Ссылки