Дискретная мера

Схематическое изображение меры Дирака линией, увенчанной стрелкой. Мера Дирака — это дискретная мера, носителем которой является точка 0. Мера Дирака любого множества, содержащего 0, равна 1, а мера любого множества, не содержащего 0, равна 0.

В математике , точнее в теории меры , мера на действительной прямой называется дискретной мерой (относительно меры Лебега ), если она сосредоточена на не более чем счетном множестве . Носитель не обязательно должен быть дискретным множеством . Геометрически дискретная мера (на действительной прямой, относительно меры Лебега) представляет собой совокупность точечных масс.

Определение и свойства

Даны две (положительные) σ-конечные меры и на измеримом пространстве . Тогда говорят, что является дискретным относительно , ​​если существует не более чем счетное подмножество в такое, что ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

1. Все синглтоны с измеримы (что подразумевает, что любое подмножество измеримо) ${\displaystyle \{s\}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle \nu (S)=0\,}$
3. ${\displaystyle \mu (X\setminus S)=0.\,}$

Мера на дискретна (относительно ) тогда и только тогда, когда имеет вид ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\delta _{s_{i}}}$

с мерами Дирака на множестве, определяемом как ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \delta _{s_{i}}}$ ${\displaystyle S=\{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}}$

для всех . ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

Можно также определить концепцию дискретности для знаковых мер . Тогда вместо условий 2 и 3 выше следует попросить, чтобы было равно нулю на всех измеримых подмножествах и было равно нулю на измеримых подмножествах ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\backslash S.}$

Пример наР

Мера, определенная на измеримых по Лебегу множествах действительной прямой со значениями в , называется дискретной, если существует (возможно, конечная) последовательность чисел ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots \,}$

такой что

${\displaystyle \mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0.}$

Обратите внимание, что первые два требования в предыдущем разделе всегда выполняются для не более чем счетного подмножества действительной прямой, если — мера Лебега. ${\displaystyle \nu }$

Простейшим примером дискретной меры на действительной прямой является дельта-функция Дирака. Имеем и ${\displaystyle \delta .}$ ${\displaystyle \delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0}$ ${\displaystyle \delta (\{0\})=1.}$

В более общем смысле можно доказать, что любая дискретная мера на действительной прямой имеет вид

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$

для соответствующим образом выбранной (возможно, конечной) последовательности действительных чисел и последовательности чисел той же длины. ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

Смотрите также

• Изолированная точка  – точка подмножества S, вокруг которой нет других точек S.
• Теорема разложения Лебега
• Синглтон (математика)  – множество, состоящее ровно из одного элемента.
• Единичная мера  – мера или распределение вероятностей, носитель которой имеет нулевую меру Лебега (или другую)Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Ссылки

• «Почему дискретная атомарная мера должна допускать разложение на меры Дирака? Более того, что такое «атомарный класс»?». math.stackexchange.com . 24 февраля 2022 г.
• Курбатов, В. Г. (1999). Функциональные дифференциальные операторы и уравнения . Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5624-1.

Внешние ссылки

• А.П. Терехин (2001) [1994], "Дискретная мера", Энциклопедия математики , Издательство EMS