Дискретные ортогональные многочлены

В математике последовательность дискретных ортогональных многочленов — это последовательность многочленов, которые попарно ортогональны относительно дискретной меры. Примерами являются дискретные многочлены Чебышёва , многочлены Шарлье , многочлены Кравчука , многочлены Мейкснера , дуальные многочлены Хана , многочлены Хана и многочлены Рака .

Если мера имеет конечный носитель, то соответствующая последовательность дискретных ортогональных многочленов имеет только конечное число элементов. Многочлены Рака дают пример этого.

Определение

Рассмотрим дискретную меру на некотором множестве с весовой функцией . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},\dots \}}$ ${\displaystyle \omega (x)}$

Семейство ортогональных многочленов называется дискретным , если они ортогональны относительно (соответственно ), т.е. ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sum \limits _{x\in S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)=\kappa _{n}\delta _{n,m},}$

где находится дельта Кронекера . ^[1] ${\displaystyle \delta _{n,m}}$

Замечание

Любая дискретная мера имеет вид

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$,

поэтому можно определить весовую функцию как . ${\displaystyle \omega (s_{i})=a_{i}}$

Литература

• Baik, Jinho; Kriecherbauer, T.; McLaughlin, KT-R.; Miller, PD (2007), Дискретные ортогональные многочлены. Асимптотика и приложения, Annals of Mathematics Studies, т. 164, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-12734-7, МР  2283089

Ссылки

1. Арвесу, Дж.; Куссеман, Дж.; Ван Ашше, Вальтер (2003). «Некоторые дискретные многочлены множественной ортогональности». Журнал вычислительной и прикладной математики . 153 : 19–45.