В математике топологическая группа G называется дискретной группой , если в ней нет предельной точки (т. е. для каждого элемента в G существует окрестность, которая содержит только этот элемент). Эквивалентно, группа G является дискретной тогда и только тогда, когда ее тождество изолировано . [ 1 ]
Подгруппа H топологической группы G является дискретной подгруппой , если H дискретна при наделении топологией подпространства из G. Другими словами, существует окрестность единицы в G, не содержащая никаких других элементов H. Например, целые числа , Z , образуют дискретную подгруппу действительных чисел , R (со стандартной метрической топологией ), но рациональные числа , Q , не образуют.
Любая группа может быть наделена дискретной топологией , что делает ее дискретной топологической группой. Поскольку каждое отображение из дискретного пространства непрерывно , топологические гомоморфизмы между дискретными группами являются в точности групповыми гомоморфизмами между базовыми группами. Следовательно, существует изоморфизм между категорией групп и категорией дискретных групп. Дискретные группы, таким образом, могут быть отождествлены с их базовыми (нетопологическими) группами.
Бывают случаи, когда топологическая группа или группа Ли полезно наделяется дискретной топологией, «против природы». Это происходит, например, в теории компактификации Бора и в теории групповых когомологий групп Ли.
Дискретная группа изометрий — это группа изометрий, такая что для каждой точки метрического пространства множество образов точки под изометриями является дискретным множеством . Дискретная группа симметрии — это группа симметрии, которая является дискретной группой изометрий.
Поскольку топологические группы однородны , достаточно взглянуть на одну точку, чтобы определить, является ли топологическая группа дискретной. В частности, топологическая группа дискретна только в том случае, если синглтон, содержащий единицу, является открытым множеством .
Дискретная группа — это то же самое, что и нульмерная группа Ли ( несчетные дискретные группы не являются счетно-совместными , поэтому авторы, требующие, чтобы группы Ли обладали этим свойством, не считают эти группы группами Ли). Компонент единицы дискретной группы — это просто тривиальная подгруппа , в то время как группа компонентов изоморфна самой группе.
Поскольку единственная топология Хаусдорфа на конечном множестве — это дискретная, конечная топологическая группа Хаусдорфа обязательно должна быть дискретной. Отсюда следует, что каждая конечная подгруппа группы Хаусдорфа дискретна.
Дискретная подгруппа H группы G называется кокомпактной , если существует компактное подмножество K группы G, такое что HK = G.
Дискретные нормальные подгруппы играют важную роль в теории покрывающих групп и локально изоморфных групп. Дискретная нормальная подгруппа связной группы G обязательно лежит в центре G и, следовательно , абелева .
Другие свойства :
Медиа, связанные с Дискретные группы на Wikimedia Commons