Диск Эйри

Дифракционная картина в оптике

Компьютерное изображение диска Эйри. Интенсивность оттенков серого была скорректирована для усиления яркости внешних колец рисунка Эйри.

Компьютерно-генерируемый диск Эйри из дифрагированного белого света ( спектр D65 ). Обратите внимание, что красный компонент дифрагирует сильнее, чем синий, поэтому центр выглядит слегка голубоватым.

Настоящий диск Эйри, созданный путем пропускания красного лазерного луча через 90- микрометровую точечную апертуру с 27 порядками дифракции.

Диск Эйри, снятый объективом камеры с фокусным расстоянием 2000 мм при диафрагме f/25. Размер изображения: 1×1 мм.

В оптике диск Эйри (или диск Эйри ) и узор Эйри являются описаниями наилучше сфокусированного пятна света , которое может создать идеальная линза с круглой апертурой , ограниченная дифракцией света . Диск Эйри имеет важное значение в физике , оптике и астрономии .

Дифракционная картина, полученная из равномерно освещенной круглой апертуры, имеет яркую центральную область , известную как диск Эйри, которая вместе с серией концентрических колец вокруг называется рисунком Эйри. Оба названы в честь Джорджа Бидделла Эйри . Явление диска и колец было известно до Эйри; Джон Гершель описал появление яркой звезды, наблюдаемой через телескоп при большом увеличении, в статье 1828 года о свете для Encyclopedia Metropolitana :

...звезда тогда видна (при благоприятных обстоятельствах спокойной атмосферы, равномерной температуры и т. д.) как идеально круглый, четко очерченный планетарный диск, окруженный двумя, тремя или более попеременно темными и яркими кольцами, которые, если внимательно рассмотреть, кажутся слегка окрашенными по краям. Они следуют друг за другом почти с равными интервалами вокруг центрального диска... ^[1]

Эйри написал первую полную теоретическую работу, объясняющую это явление (его работа 1835 года «О дифракции предметного стекла с круглой апертурой»). ^[2]

Математически картина дифракции характеризуется длиной волны света, освещающего круглую апертуру, и размером апертуры. Внешний вид картины дифракции дополнительно характеризуется чувствительностью глаза или другого детектора, используемого для наблюдения картины.

Наиболее важным применением этой концепции являются камеры , микроскопы и телескопы . Из-за дифракции наименьшая точка, в которой линза или зеркало могут сфокусировать луч света, равна размеру диска Эйри. Даже если бы удалось создать идеальную линзу, все равно существует предел разрешения изображения, создаваемого такой линзой. Оптическая система, в которой разрешение больше не ограничивается несовершенствами линз, а только дифракцией, называется дифракционно ограниченной .

Размер

Вдали от отверстия угол, под которым возникает первый минимум, измеренный от направления падающего света, определяется приближенной формулой:

$${\displaystyle \sin \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}}}$$

или, для малых углов, просто

$${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}},}$$

где в радианах, - длина волны света в метрах, - диаметр апертуры в метрах. Полная ширина на половине максимума определяется как ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {d}}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {FWHM} }=1.029{\frac {\lambda }{d}}.}$

Эйри записал это соотношение как

$${\displaystyle s={\frac {2.76}{a}},}$$

где был углом первого минимума в секундах дуги, был радиус апертуры в дюймах, а длина волны света предполагалась равной 0,000022 дюйма (560 нм; среднее значение видимых длин волн). ^[3] Это равно угловому разрешению круглой апертуры. Критерий Рэлея для едва различимого разрешения двух объектов, которые являются точечными источниками света, такими как звезды, видимые в телескоп, заключается в том, что центр диска Эйри для первого объекта приходится на первый минимум диска Эйри второго. Это означает, что угловое разрешение системы, ограниченной дифракцией, определяется теми же формулами. ${\displaystyle {s}}$ ${\displaystyle {a}}$

Однако, в то время как угол, под которым возникает первый минимум (который иногда описывается как радиус диска Эйри), зависит только от длины волны и размера апертуры, внешний вид дифракционной картины будет меняться в зависимости от интенсивности (яркости) источника света. Поскольку любой детектор (глаз, пленка, цифровой), используемый для наблюдения дифракционной картины, может иметь порог интенсивности для обнаружения, полная дифракционная картина может быть не видна. В астрономии внешние кольца часто не видны даже на сильно увеличенном изображении звезды. Может быть, что ни одно из колец не видно, и в этом случае изображение звезды выглядит как диск (только центральный максимум), а не как полная дифракционная картина. Кроме того, более слабые звезды будут выглядеть как меньшие диски, чем более яркие звезды, потому что меньшая часть их центрального максимума достигает порога обнаружения. ^[4] Хотя в теории все звезды или другие «точечные источники» данной длины волны, наблюдаемые через данную апертуру, имеют одинаковый радиус диска Эйри, характеризуемый приведенным выше уравнением (и одинаковый размер дифракционной картины), отличаясь только интенсивностью, на самом деле более слабые источники выглядят как меньшие диски, а более яркие источники выглядят как большие диски. ^[5] Это было описано Эйри в его оригинальной работе: ^[6]

Быстрое уменьшение света в последовательных кольцах достаточно объяснит видимость двух или трех колец с очень яркой звездой и невидимость колец со слабой звездой. Различие диаметров центральных пятен (или паразитных дисков) разных звезд ... также полностью объяснено. Так, радиус паразитного диска слабой звезды, где свет менее половины интенсивности центрального света не производит впечатления на глаз, определяется как [ s = 1,17/ a ], тогда как радиус паразитного диска яркой звезды, где свет в 1/10 интенсивности центрального света является ощутимым, определяется как [ s = 1,97/ a ].

Несмотря на эту особенность работы Эйри, радиус диска Эйри часто указывается просто как угол первого минимума, даже в стандартных учебниках. ^[7] В действительности угол первого минимума является ограничивающим значением для размера диска Эйри, а не определенным радиусом.

Примеры

Логарифмический график зависимости диаметра апертуры от углового разрешения на пределе дифракции для различных длин волн света по сравнению с различными астрономическими инструментами. Например, синяя звезда показывает, что космический телескоп Хаббл почти дифракционно ограничен в видимом спектре на 0,1 угловой секунды, тогда как красный круг показывает, что человеческий глаз должен иметь разрешающую способность 20 угловых секунд в теории, хотя зрение 20/20 разрешает только до 60 угловых секунд (1 угловая минута)

Камеры

Если два объекта, снимаемых камерой, разделены углом, достаточно малым, чтобы их диски Эйри на детекторе камеры начали перекрываться, объекты больше не могут быть четко разделены на изображении, и они начинают размываться вместе. Говорят, что два объекта разрешены только тогда, когда максимум первой модели Эйри приходится на первый минимум второй модели Эйри ( критерий Рэлея ).

Таким образом, наименьшее угловое расстояние между двумя объектами, которое может быть до того, как они начнут заметно размываться, определяется, как указано выше, по формуле $${\displaystyle \sin \theta =1.22\,{\frac {\lambda }{d}}.}$$

Таким образом, способность системы разрешать детали ограничена отношением λ/ d . Чем больше апертура для данной длины волны, тем мельче детали, которые можно различить на изображении.

Это также можно выразить как где - разделение изображений двух объектов на пленке, а - расстояние от объектива до пленки. Если мы примем расстояние от объектива до пленки приблизительно равным фокусному расстоянию объектива, то найдем, но - число f объектива. Типичная настройка для использования в пасмурный день будет $${\displaystyle {\frac {x}{f}}=1.22\,{\frac {\lambda }{d}},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle x=1.22\,{\frac {\lambda \,f}{d}},}$$ ${\displaystyle {\frac {f}{d}}}$ж /8(см. правило Sunny 16 ). Для фиолетового цвета, самой короткой длины волны видимого света, длина волны λ составляет около 420 нанометров (см. колбочки для чувствительности колбочек S). Это дает значение около 4 мкм. В цифровой камере, если сделать пиксели датчика изображения меньше половины этого значения (один пиксель для каждого объекта, один для каждого промежутка между ними), это не приведет к значительному увеличению разрешения захваченного изображения . Однако это может улучшить конечное изображение за счет избыточной выборки, что позволит снизить уровень шума. ${\displaystyle x}$

Человеческий глаз

Продольные сечения сфокусированного пучка с (вверху) отрицательной, (в центре) нулевой и (внизу) положительной сферической аберрацией. Линза слева.

Самое быстрое число f для человеческого глаза составляет около 2,1, ^[8] что соответствует дифракционно-ограниченной функции рассеяния точки с диаметром приблизительно 1 мкм. Однако при этом числе f сферическая аберрация ограничивает остроту зрения, в то время как диаметр зрачка 3 мм (f/5,7) приближается к разрешению, достигаемому человеческим глазом. ^[9] Максимальная плотность колбочек в центральной ямке человека составляет приблизительно 170 000 на квадратный миллиметр, ^[10] что означает, что расстояние между колбочками в человеческом глазу составляет около 2,5 мкм, что приблизительно равно диаметру функции рассеяния точки при f/5.

Сфокусированный лазерный луч

Круговой лазерный луч с равномерной интенсивностью по окружности (луч с плоской вершиной), сфокусированный линзой, образует в фокусе рисунок диска Эйри. Размер диска Эйри определяет интенсивность лазера в фокусе.

Прицельный прицел

Некоторые прицельные приспособления для оружия (например, FN FNC ) требуют от пользователя совмещения прицела (заднего, ближнего прицела, т.е. который будет не в фокусе) с наконечником (который должен быть сфокусирован и наложен на цель) на конце ствола. Глядя через прицел, пользователь заметит диск Эйри, который поможет центрировать прицел над штифтом. ^[11]

Условия наблюдения

Свет от равномерно освещенного круглого отверстия (или от однородного плоского пучка) будет демонстрировать картину дифракции Эйри вдали от отверстия из-за дифракции Фраунгофера (дифракции в дальней зоне).

Условия нахождения в дальней зоне и проявления картины Эйри следующие: входящий свет, освещающий апертуру, представляет собой плоскую волну (без изменения фазы по апертуре), интенсивность постоянна по площади апертуры, а расстояние от апертуры, где наблюдается дифрагированный свет (расстояние до экрана), велико по сравнению с размером апертуры, а радиус апертуры не намного больше длины волны света. Последние два условия можно формально записать как ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle R>a^{2}/\lambda .}$

На практике условия равномерного освещения можно выполнить, поместив источник освещения далеко от апертуры. Если условия для дальнего поля не выполняются (например, если апертура большая), то картину дифракции Эйри в дальнем поле можно получить и на экране, расположенном гораздо ближе к апертуре, используя линзу сразу после апертуры (или сама линза может образовывать апертуру). Тогда картина Эйри будет сформирована в фокусе линзы, а не на бесконечности.

Следовательно, фокусное пятно однородного круглого лазерного луча (луча с плоской вершиной), сфокусированного линзой, также будет представлять собой узор Эйри.

В камере или системе формирования изображения удаленный объект отображается на пленке или плоскости детектора объективом, а картина дифракции в дальней зоне наблюдается на детекторе. Полученное изображение представляет собой свертку идеального изображения с картиной дифракции Эйри из-за дифракции на апертуре ириса или из-за конечного размера линзы. Это приводит к конечному разрешению системы линз, описанной выше.

Математическая формулировка

Дифракция от круглого отверстия. Картина Эйри наблюдается, когда (т.е. в дальнем поле) ${\displaystyle R\gg a^{2}/\lambda }$

Дифракция от отверстия с линзой. Изображение в дальнем поле будет (только) сформировано на экране на расстоянии одного фокусного расстояния, где R=f (f=фокусное расстояние). Угол наблюдения остается таким же, как и в случае без линзы. ${\displaystyle \theta }$

Интенсивность картины Эйри соответствует картине дифракции Фраунгофера круглой апертуры, определяемой квадратом модуля преобразования Фурье круглой апертуры:

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(k\,a\sin \theta )}{k\,a\sin \theta }}\right]^{2}=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right]^{2}}$$

где - максимальная интенсивность рисунка в центре диска Эйри, - функция Бесселя первого рода первого порядка, - волновое число, - радиус апертуры, - угол наблюдения, т. е. угол между осью круглой апертуры и линией между центром апертуры и точкой наблюдения. где q - радиальное расстояние от точки наблюдения до оптической оси, а R - ее расстояние до апертуры. Обратите внимание, что диск Эйри, заданный приведенным выше выражением, действителен только для больших R , где применяется дифракция Фраунгофера ; расчет тени в ближнем поле должен скорее выполняться с использованием дифракции Френеля . ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}},}$

Однако точный рисунок Эйри появляется на конечном расстоянии, если линза помещена в отверстие. Тогда рисунок Эйри будет идеально сфокусирован на расстоянии, заданном фокусным расстоянием линзы (предполагая, что коллимированный свет падает на отверстие), заданном приведенными выше уравнениями.

Нули находятся при Отсюда следует, что первое темное кольцо в дифракционной картине возникает там, где или ${\displaystyle J_{1}(x)}$ ${\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706\dots .}$ ${\displaystyle ka\sin {\theta }=3.8317\dots ,}$

$${\displaystyle \sin \theta \approx {\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}.}$$

Если для фокусировки рисунка Эйри на конечном расстоянии используется линза, то радиус первого темного кольца на фокальной плоскости определяется исключительно числовой апертурой A (тесно связанной с числом f ): ${\displaystyle q_{1}}$ $${\displaystyle q_{1}=R\sin \theta _{1}\approx 1.22{R}{\frac {\lambda }{d}}=1.22{\frac {\lambda }{2A}}}$$

где числовая апертура A равна радиусу апертуры d /2, деленному на R', расстояние от центра рисунка Эйри до края апертуры. Рассматривая апертуру радиусом d /2 и линзу как камеру (см. схему выше), проецирующую изображение на фокальную плоскость на расстоянии f , числовая апертура A связана с обычно упоминаемым числом f N = f / d (отношение фокусного расстояния к диаметру линзы) в соответствии с

$${\displaystyle A={\frac {r}{R'}}={\frac {r}{\sqrt {f^{2}+r^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {4N^{2}+1}}};}$$

для N ≫ 1 это просто аппроксимируется как Это показывает, что наилучшее возможное разрешение изображения камеры ограничено числовой апертурой (и, следовательно, числом f) ее объектива из-за дифракции . ${\textstyle A\approx 1/2N.}$

Половина максимума центрального диска Эйри (где ) происходит в точке 1/e ² (где ) , а максимум первого кольца происходит в ${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x=1.61633995\dots ;}$ ${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{e}}$ ${\displaystyle x=2.58383899\dots ,}$ ${\displaystyle x=5.13562230\dots .}$

Интенсивность в центре дифракционной картины связана с полной мощностью, падающей на апертуру, соотношением ^[12] ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}}$$

где - сила источника на единицу площади в отверстии, A - площадь отверстия ( ), а R - расстояние от отверстия. В фокальной плоскости линзы интенсивность в максимуме первого кольца составляет около 1,75% от интенсивности в центре диска Эйри. ${\displaystyle \mathrm {E} }$ ${\displaystyle A=\pi a^{2}}$ ${\displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2}).}$

Выражение выше можно интегрировать, чтобы получить общую мощность, содержащуюся в дифракционной картине внутри круга заданного размера: ${\displaystyle I(\theta )}$

$${\displaystyle P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]}$$

где и являются функциями Бесселя . Следовательно, доли полной мощности, содержащиеся в первом, втором и третьем темных кольцах (где ), составляют 83,8%, 91,0% и 93,8% соответственно. ^[13] ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{1}(ka\sin \theta )=0}$

Диск Эйри и дифракционную картину можно рассчитать численно из первых принципов, используя интегралы Фейнмана по траекториям. ^[14]

Аппроксимация с использованием гауссовского профиля

Радиальное сечение через модель Эйри (сплошная кривая) и ее гауссовское приближение профиля (пунктирная кривая). Абсцисса дана в единицах длины волны, умноженных на число f оптической системы. ${\displaystyle \lambda }$

Рисунок Эйри довольно медленно падает до нуля с увеличением расстояния от центра, при этом внешние кольца содержат значительную часть интегрированной интенсивности рисунка. В результате среднеквадратический размер пятна не определен (т.е. бесконечен). Альтернативной мерой размера пятна является игнорирование относительно небольших внешних колец рисунка Эйри и аппроксимация центрального лепестка гауссовым профилем , таким образом, что

$${\displaystyle I(q)\approx I'_{0}\exp \left({\frac {-2q^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)\ ,}$$

где - освещенность в центре рисунка, представляет собой радиальное расстояние от центра рисунка, а - гауссовская среднеквадратичная ширина (в одном измерении). Если мы приравняем пиковую амплитуду рисунка Эйри и гауссова профиля, то есть, и найдем значение, дающее оптимальное приближение к рисунку, мы получим ^[15] ${\displaystyle I'_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\textstyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle I'_{0}=I_{0},}$ ${\textstyle \omega _{0}}$

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.84\lambda N\ ,}$

где N — число f . Если, с другой стороны, мы хотим добиться того, чтобы профиль Гаусса имел тот же объем, что и шаблон Эйри, то это становится

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.90\lambda N\ .}$

В теории оптических аберраций принято описывать систему формирования изображения как дифракционно-ограниченную , если радиус диска Эйри больше, чем среднеквадратичный размер пятна, определенный из геометрической трассировки лучей (см. Конструкция оптической линзы ). Аппроксимация гауссовского профиля обеспечивает альтернативное средство сравнения: использование приведенного выше приближения показывает, что гауссова талия гауссовского приближения к диску Эйри составляет около двух третей радиуса диска Эйри, т.е. в отличие от ${\textstyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle 0.84\lambda N}$ ${\displaystyle 1.22\lambda N.}$

Скрытый воздушный узор

Аналогичные уравнения можно также вывести для затененной картины дифракции Эйри ^{[16] [17]} , которая является картиной дифракции от кольцевой апертуры или пучка, т. е. однородной круглой апертуры (пучка), затененной круглым блоком в центре. Эта ситуация актуальна для многих распространенных конструкций телескопов-рефлекторов, которые включают вторичное зеркало, включая ньютоновские телескопы и телескопы Шмидта-Кассегрена .

$${\displaystyle I(R)={\frac {I_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}-{\frac {2\epsilon J_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}}$$

где - коэффициент затемнения кольцевой апертуры, или отношение диаметра затемняющего диска к диаметру апертуры (луча). и x определяется как указано выше: где - радиальное расстояние в фокальной плоскости от оптической оси, - длина волны, а - число f системы. Дробная замкнутая энергия (доля полной энергии, заключенная в круге радиуса с центром на оптической оси в фокальной плоскости) затем определяется как: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \left(0\leq \epsilon <1\right),}$ ${\displaystyle x=ka\sin(\theta )\approx {\frac {\pi R}{\lambda N}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle E(R)={\frac {1}{(1-\epsilon ^{2})}}\left(1-J_{0}^{2}(x)-J_{1}^{2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J_{0}^{2}(\epsilon x)-J_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\epsilon \int _{0}^{x}{\frac {J_{1}(t)J_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)}$$

Ибо формулы сводятся к приведенным выше неискаженным версиям. ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

Практический эффект наличия центрального препятствия в телескопе заключается в том, что центральный диск становится немного меньше, а первое яркое кольцо становится ярче за счет центрального диска. Это становится более проблематичным с телескопами с коротким фокусным расстоянием, которым требуются более крупные вторичные зеркала. ^[18]

Сравнение с фокусировкой гауссовского пучка

Круговой лазерный луч с равномерным профилем интенсивности, сфокусированный линзой, образует узор Эйри в фокальной плоскости линзы. Интенсивность в центре фокуса будет равна где — полная мощность луча, — площадь луча ( — диаметр луча), — длина волны, — фокусное расстояние линзы. ${\displaystyle I_{0,Airy}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle A=\pi D^{2}/4}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f}$

Гауссов пучок, прошедший через жесткую апертуру, будет обрезан. Энергия теряется, и происходит краевая дифракция, эффективно увеличивая расхождение. Из-за этих эффектов существует диаметр гауссова пучка, который максимизирует интенсивность в дальнем поле. Это происходит, когда диаметр гауссова составляет 89% от диаметра апертуры, а интенсивность на оси в дальнем поле будет составлять 81% от той, которая создается равномерным профилем интенсивности. ^[19] ${\displaystyle 1/e^{2}}$

Эллиптическая апертура

Интеграл Фурье кругового поперечного сечения радиуса равен ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}=\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{ikr\cos \phi }=2\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{\pi }d\phi \cos(kr\cos \phi )=2\pi \int _{0}^{a}rdrJ_{0}(kr)=2\pi {\frac {a}{k}}J_{1}(kr).}$

Это частный случай интеграла Фурье эллиптического сечения с полуосями и : ^[20] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \int _{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}\leq 1}e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}dxdy=2\pi {\frac {ab}{c}}J_{1}(c)}$

где

${\displaystyle c\equiv {\sqrt {(k_{x}a)^{2}+(k_{y}b)^{2}}}.}$

Смотрите также

• Любительская астрономия
• Аподизация
• дифракция Фраунгофера
• Bloom (эффект шейдера)
• Кольца Ньютона
• Оптический блок
• Функция рассеяния точки
• Кольцо Дебая-Шеррера
• Коэффициент Штреля
• Пятнистый узор

Примечания и ссылки

1. Гершель, Дж. Ф. У. (1828). «Свет». Труды Трактаты по физической астрономии, свету и звуку, внесенные в Encyclopaedia Metropolitana . Richard Griffin & Co. стр. 491.
2. Эйри, ГБ (1835). «О дифракции предметного стекла с круглой апертурой». Труды Кембриджского философского общества . 5 : 283–91. Bibcode : 1835TCaPS...5..283A.
3. Эйри, ГБ, «О дифракции объективного стекла с круглой апертурой», Труды Кембриджского философского общества, т. 5, 1835, стр. 287.
4. Сиджвик, Дж. Б., Справочник астронома-любителя, Dover Publications, 1980, стр. 39–40.
5. Грэни, Кристофер М. (2009). «Объекты в телескопе дальше, чем кажутся — как дифракция обманула Галилея, заставив его неверно измерить расстояния до звезд». The Physics Teacher . 47 (6): 362–365. doi :10.1119/1.3204117. Архивировано из оригинала 2011-05-14.
6. Эйри, ГБ, «О дифракции объективного стекла с круглой апертурой», Труды Кембриджского философского общества, т. 5, 1835, стр. 288.
7. Джанколи, Д.К., Физика для ученых и инженеров (3-е издание), Prentice-Hall, 2000, стр. 896.
8. Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN 0-201-11609-X.Раздел 5.7.1
9. Стив Чепмен, ред. (2000). Проектирование оптических систем. McGraw-Hill Professional . ISBN 0-07-134916-2.
10. "Плотность рецепторов глаза" . Получено 18.12.2023 .
11. См. http://en.wikibooks.org/wiki/Airy_disk/Marksmanship, «Выравнивание прицела»
12. Э. Хехт, Оптика , Эддисон Уэсли (2001)
13. М. Борн и Э. Вольф, Принципы оптики (Pergamon Press, Нью-Йорк, 1965)
14. Derenzo, SE (2023). "Фейнмановские расчеты интеграла траектории фотона при оптическом отражении, дифракции и рассеянии на электронах проводимости". Ядерные приборы и методы A . 1056 : 168679. arXiv : 2309.09827 . Bibcode : 2023NIMPA105668679D. doi : 10.1016/j.nima.2023.168679.
15. Чжан, Бо; Зерубия, Жозиан; Оливо-Марен, Жан-Кристоф (2007-04-01). «Гауссовы приближения моделей функции рассеяния точки флуоресцентного микроскопа». Прикладная оптика . 46 (10): 1819–1829. Bibcode :2007ApOpt..46.1819Z. doi :10.1364/AO.46.001819. ISSN  2155-3165. PMID  17356626.
16. Ривольта, Клаудио (1986). "Дифракционная картина диска Эйри: сравнение некоторых значений f/No. и коэффициента затемнения". Прикладная оптика . 25 (14): 2404. Bibcode : 1986ApOpt..25.2404R. doi : 10.1364/AO.25.002404. PMID  18231508.
17. Махаджан, Вирендра Н. (1986). «Равномерные и гауссовы пучки: сравнение эффектов дифракции, рассеяния и аберраций». J. Opt. Soc. Am. A. 3 ( 4): 470. Bibcode : 1986JOSAA...3..470M. doi : 10.1364/JOSAA.3.000470.
18. Сачек, Владимир (14 июля 2006 г.). "Глава 7 Эффекты преграды (7.1. Эффект центральной преграды)". 7. Заметки по любительской телескопической оптике . Получено 18 мая 2013 г.
19. AE Siegman, Lasers, Se. 18.4, University Science Books, Mill Valley, CA, 1989
20. Борги, Риккардо (2014). «Плосковолновая дифракция Френеля на эллиптических апертурах: подход на основе Фурье». J. Opt. Soc. Am. A. 31 ( 10): 2120–2130. Bibcode : 2014JOSAA..31.2120B. doi : 10.1364/JOSAA.31.002120. PMID  25401234.

Внешние ссылки

• Майкл У. Дэвидсон . «Концепции и формулы в микроскопии: разрешение».Nikon MicroscopyU (веб-сайт).
  • Кеннет Р. Спринг; Брайан О. Флинн и Майкл В. Дэвидсон. "Формирование изображения: числовая апертура и разрешение изображения" . Получено 15 июня 2006 г.(Интерактивное руководство по Java) Молекулярные выражения (веб-сайт).
  • Кеннет Р. Спринг; Брайан О. Флинн и Майкл В. Дэвидсон. "Формирование изображения: формирование воздушного узора" . Получено 15 июня 2006 г.(Интерактивный учебник по Java) Молекулярные выражения .
• Пол Пэдли. «Дифракция на круглом отверстии»., Connexions (веб-сайт), 8 ноября 2005 г. – Математические подробности вывода приведенной выше формулы.
• «Диск Эйри: объяснение того, что это такое, и почему его нельзя избежать», Oldham Optical UK .
• Вайсштейн, Эрик В. «Нули функции Бесселя». MathWorld .
• «Расширенный анализ Нийбура-Цернике (ENZ) и поиск аберраций».