Дифференциальная игра

В теории игр дифференциальные игры представляют собой группу проблем, связанных с моделированием и анализом конфликта в контексте динамической системы . Более конкретно, переменная или переменные состояния изменяются с течением времени в соответствии с дифференциальным уравнением . Ранние анализы отражали военные интересы, рассматривая двух участников — преследователя и убегающего — с диаметрально противоположными целями. Более поздние анализы отражали инженерные или экономические соображения. ^{[1] [2]}

Подключение к оптимальному управлению

Дифференциальные игры тесно связаны с задачами оптимального управления . В задаче оптимального управления есть одно управление и один критерий, который нужно оптимизировать; теория дифференциальных игр обобщает это до двух управлений и двух критериев, по одному для каждого игрока. ^[3] Каждый игрок пытается контролировать состояние системы, чтобы достичь своей цели; система реагирует на входы всех игроков. ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle u_{1}(t),u_{2}(t)}$

История

В изучении конкуренции дифференциальные игры используются со времени статьи Чарльза Ф. Руса 1925 года . ^[4] Первым, кто изучал формальную теорию дифференциальных игр, был Руфус Айзекс , опубликовавший учебник по ее изучению в 1965 году. ^[5] Одной из первых проанализированных игр была «игра шофер-убийца» .

Случайный временной горизонт

Игры со случайным временным горизонтом являются частным случаем дифференциальных игр. ^[6] В таких играх конечное время является случайной величиной с заданной функцией распределения вероятностей . Поэтому игроки максимизируют математическое ожидание функции стоимости. Было показано, что модифицированную задачу оптимизации можно переформулировать как дисконтированную дифференциальную игру на бесконечном интервале времени ^{[7] [8]}

Приложения

Дифференциальные игры были применены в экономике. Недавние разработки включают добавление стохастичности к дифференциальным играм и вывод стохастической обратной связи равновесия Нэша (SFNE). Недавним примером является стохастическая дифференциальная игра капитализма Леонга и Хуанга (2010). ^[9] В 2016 году Юлий Санников получил медаль Джона Бейтса Кларка от Американской экономической ассоциации за его вклад в анализ непрерывных динамических игр с использованием методов стохастического исчисления . ^{[10] [11]}

Кроме того, дифференциальные игры применяются в наведении ракет ^{[12] [13]} и автономных системах . ^[14]

Обзор дифференциальных игр преследования-уклонения см. в Pachter. ^[15]

Смотрите также

• Уравнения Лотки–Вольтерра
• Теория игр среднего поля

Примечания

1. Тембин, Хамиду (2017-12-06). «Игры типа среднего поля». AIMS Mathematics . 2 (4): 706–735. doi : 10.3934/Math.2017.4.706 . Архивировано из оригинала 29.03.2019 . Получено 29.03.2019 .
2. Djehiche, Boualem; Tcheukam, Alain; Tembine, Hamidou (2017-09-27). «Игры типа среднего поля в инженерии». AIMS Electronics and Electrical Engineering . 1 : 18–73. arXiv : 1605.03281 . doi :10.3934/ElectrEng.2017.1.18. S2CID  16055840. Архивировано из оригинала 29.03.2019 . Получено 29.03.2019 .
3. Камьен, Мортон И .; Шварц, Нэнси Л. (1991). «Дифференциальные игры». Динамическая оптимизация: вариационное исчисление и оптимальное управление в экономике и менеджменте . Амстердам: Северная Голландия. С. 272–288. ISBN 0-444-01609-0.
4. Roos, CF (1925). «Математическая теория конкуренции». American Journal of Mathematics . 47 (3): 163–175. doi :10.2307/2370550. JSTOR  2370550.
5. Айзекс, Руфус (1999) [1965]. Дифференциальные игры: математическая теория с приложениями к войне и преследованию, управлению и оптимизации (ред. Дувра). Лондон: John Wiley and Sons. ISBN 0-486-40682-2– через Google Книги.
6. Петросян, Л.А.; Мурзов, Н.В. (1966). «Игровые задачи механики». Литовский мат. сб . 6 : 423–433.
7. Петросян, Л.А.; Шевкопляс, Э.В. (2000). «Кооперативные игры со случайной продолжительностью». Вестник СПбГУ . 4 (1).
8. Марин-Солано, Хесус; Шевкопляс, Екатерина В. (декабрь 2011 г.). «Непостоянное дисконтирование и дифференциальные игры со случайным временным горизонтом». Automatica . 47 (12): 2626–2638. doi :10.1016/j.automatica.2011.09.010.
9. Леонг, CK; Хуан, W. (2010). «Стохастическая дифференциальная игра капитализма». Журнал математической экономики . 46 (4): 552. doi :10.1016/j.jmateco.2010.03.007. S2CID  5025474.
10. "Американская экономическая ассоциация". www.aeaweb.org . Получено 21 августа 2017 г.
11. Тембин, Х.; Дункан, Тайрон Э. (2018). «Линейно-квадратичные игры типа среднего поля: прямой метод». Игры . 9 (1): 7. doi : 10.3390/g9010007 . hdl : 10419/179168 .
12. Андерсон, Джеральд М. (1981). «Сравнение законов наведения ракет с оптимальным управлением и дифференциальной игрой». Журнал наведения и управления . 4 (2): 109–115. Bibcode : 1981JGCD....4..109A. doi : 10.2514/3.56061. ISSN  0162-3192.
13. Понтани, Мауро; Конвей, Брюс А. (2008). «Оптимальный перехват уклоняющихся ракетных боеголовок: численное решение дифференциальной игры». Журнал наведения, управления и динамики . 31 (4): 1111–1122. Bibcode : 2008JGCD...31.1111C. doi : 10.2514/1.30893.
14. Фаруки, Фархан А. (2017). Теория дифференциальных игр с приложениями к ракетам и автономным системам наведения . Аэрокосмическая серия. Wiley. ISBN 978-1-119-16847-8.
15. Pachter, Meir (2002). "Простые дифференциальные игры преследования-уклонения" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 г.

Дальнейшее чтение

• Докнер, Энгельберт; Йоргенсен, Штеффен; Лонг, Нго Ван; Зоргер, Герхард (2001), Дифференциальные игры в экономике и науке управления , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63732-9
• Петросян, Леон (1993), Дифференциальные игры преследования , Серия по оптимизации, т. 2, World Scientific Publishers, ISBN 978-981-02-0979-7

Внешние ссылки

• Брессан, Альберто (8 декабря 2010 г.). «Некооперативные дифференциальные игры: Учебное пособие» (PDF) . Кафедра математики, Университет штата Пенсильвания.